Representação da Posição de uma Partícula em um Eixo Numérico

Olá! Na aula anterior, você definiu o referencial, a origem e o sentido positivo de um eixo para tornar a descrição de um movimento inequívoca. Agora damos o passo seguinte: usar esse eixo para dizer, de modo numérico e com sinal, onde a partícula está.

Nesta aula, o objetivo é representar a posição por uma coordenada algébrica, normalmente indicada por $x$. Ao final, você deverá ler e escrever expressões como $x=-3,0\text{m}$ sem confundir o sinal da coordenada com uma distância negativa ou com o sentido do movimento.

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Posição: localização em relação ao eixo escolhido

Em Física, a posição informa a localização de uma partícula em relação a um referencial previamente definido. Em movimento unidimensional, essa localização pode ser dada por uma única coordenada no eixo escolhido.

Suponha que você tenha definido:

• a estrada como referencial;
• a portaria de um parque como origem;
• o sentido para leste como positivo;
• a unidade de comprimento como o metro.

Nesse sistema, cada ponto da estrada recebe um número. Esse número, acompanhado da unidade, é a coordenada de posição $x$.

A posição não responde apenas “a que distância da origem está a partícula?”. Ela também informa de qual lado da origem ela se encontra. É exatamente para isso que serve o sinal algébrico.

A ideia pode ser condensada assim:

Localização da partícula	Coordenada
No lado positivo, a uma distância $d$ da origem	$x=+d$
Na origem	$x=0$
No lado negativo, a uma distância $d$ da origem	$x=-d$

Por exemplo, se a partícula está $4\text{m}$ à direita da origem e a direita foi definida como positiva, escrevemos:

$$x=+4\text{m}$$

Se ela está $4\text{m}$ à esquerda da origem, escrevemos:

$$x=-4\text{m}$$

Na prática, o sinal de mais costuma ser omitido. Assim, $x=4\text{m}$ significa o mesmo que $x=+4\text{m}$.

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O significado físico do sinal

O sinal de uma coordenada é uma informação de posição relativa à origem, não uma avaliação do movimento.

Considere o eixo horizontal com a direita positiva:

lado negativo                origem                 lado positivo
<----------------------------- 0 ----------------------------->
      x = -3 m                                          x = +2 m

Se uma pessoa está em $x=-3\text{m}$, isso significa apenas:

Ela está a $3\text{m}$ da origem, no lado negativo do eixo.

Não significa que ela esteja “andando para trás”, nem que esteja se movendo para a esquerda. Ela pode estar parada nesse ponto. Para saber se há movimento — e em qual sentido — será necessário comparar posições em instantes diferentes, assunto das próximas aulas.

Há uma diferença importante entre coordenada e distância até a origem:

• a coordenada $x$ pode ser positiva, nula ou negativa;
• a distância até a origem é sempre não negativa e vale $|x|$.

Assim, para $x=-3\text{m}$,

$$|x|=3\text{m}$$

O módulo “remove” o sinal para fornecer apenas a distância. A posição, porém, precisa preservar o sinal, pois $x=-3\text{m}$ e $x=+3\text{m}$ correspondem a pontos distintos do eixo.

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Como atribuir uma coordenada a uma partícula

Depois de estabelecido o eixo, representar a posição é um procedimento direto, mas exige atenção aos sinais.

1. Localize a origem, isto é, o ponto de coordenada $0$.
2. Verifique o sentido positivo indicado no eixo.
3. Meça a separação entre a partícula e a origem na unidade adotada.
4. Atribua o sinal de acordo com o lado em que a partícula está.
5. Registre a coordenada com unidade, por exemplo $x=-12\text{m}$.

Considere novamente a estrada, agora com leste positivo e uma fonte como origem. Três localizações possíveis são:

• uma bicicleta a $30\text{m}$ a leste da fonte: $x=+30\text{m}$;
• uma pessoa junto à fonte: $x=0$;
• um banco a $12\text{m}$ a oeste da fonte: $x=-12\text{m}$.

O número sozinho não basta: escrever apenas “$-12$” deixa de informar a grandeza medida. A forma completa é:

$$x=-12\text{m}$$

A variável $x$ representa a posição; $\text{m}$ identifica sua unidade no Sistema Internacional.

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A coordenada descreve; ela não é o lugar em si

Uma mesma posição física pode receber números diferentes se o sistema de coordenadas for alterado. Isso não é um problema: a localização real não mudou, apenas mudou a forma de medi-la.

Imagine um banco situado $12\text{m}$ a oeste de uma fonte.

Com a fonte como origem e leste positivo:

$$x_{\text{banco}}=-12\text{m}$$

Agora mantenha a fonte como origem, mas escolha oeste como sentido positivo. O mesmo banco passa a ter:

$$x_{\text{banco}}=+12\text{m}$$

O banco não se moveu. O que mudou foi a orientação escolhida para o eixo.

De modo semelhante, se você mudasse a origem, todas as coordenadas poderiam mudar, mesmo que os objetos permanecessem imóveis. Por isso, uma coordenada só tem significado completo quando o referencial, a origem e o sentido positivo estão claros.

A imagem abaixo ilustra uma pessoa em duas posições de um eixo horizontal. Embora ela também antecipe a ideia de variação de posição, concentre-se, por enquanto, na leitura das duas coordenadas: $1,5\text{m}$ e $3,5\text{m}$, ambas no lado positivo da origem.

Note um ponto sutil: $x_0$ e $x_f$ não são novos tipos de coordenada. Eles apenas nomeiam a posição em dois momentos particulares:

• $x_0$: posição no início do intervalo observado;
• $x_f$: posição no final do intervalo observado.

A posição continua sendo uma coordenada algébrica no mesmo eixo.

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Leitura cuidadosa de coordenadas

Alguns enunciados parecem semelhantes, mas exprimem ideias diferentes:

Afirmação	Interpretação correta
$x=-5\text{m}$	A partícula está $5\text{m}$ no lado negativo da origem.
$x=+5\text{m}$	A partícula está $5\text{m}$ no lado positivo da origem.
$x=0$	A partícula está na origem.
$|x|=5\text{m}$	A partícula está a $5\text{m}$ da origem, mas o lado não foi informado.

Em particular, a frase “a partícula está a $5\text{m}$ da origem” é incompleta para determinar sua coordenada. Ela pode estar em:

$$x=+5\text{m}$$

ou em

$$x=-5\text{m}$$

É preciso indicar o lado, ou equivalentemente, fornecer a orientação e o sinal.

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Erros frequentes

Confundir posição negativa com distância negativa.
A distância é uma grandeza não negativa. Em $x=-8\text{m}$, o sinal não torna a distância negativa; ele informa que a partícula está no semieixo negativo.

Pensar que coordenada negativa implica movimento em um sentido.
Uma coordenada descreve onde a partícula está. Não informa sozinha se ela se move, para onde se move ou com que rapidez.

Esquecer a unidade.
A escrita $x=-4$ está incompleta em uma situação física. O correto é registrar, por exemplo, $x=-4\text{m}$.

Trocar o significado do sinal no meio da resolução.
Se a direita foi definida como positiva, todo ponto à esquerda deve conservar coordenada negativa durante a análise.

Confundir a origem com a posição inicial.
A origem é o ponto escolhido como $x=0$. A posição inicial pode ser qualquer valor, positivo, negativo ou nulo.

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Síntese

Uma posição em uma dimensão é representada por uma coordenada algébrica, usualmente $x$, medida a partir de uma origem em um eixo orientado.

• $x>0$ indica que a partícula está no lado positivo do eixo.
• $x<0$ indica que ela está no lado negativo.
• $x=0$ indica que ela está na origem.
• O módulo $|x|$ fornece a distância até a origem, mas elimina a informação de lado.
• A coordenada só pode ser interpretada corretamente dentro do referencial, da origem e do sentido positivo escolhidos.

Na próxima aula, essa linguagem permitirá distinguir com precisão três ideias que não devem ser confundidas: posição, deslocamento e distância percorrida.