Posição, Deslocamento e Distância em Movimentos Unidimensionais

Olá! Nas aulas anteriores, você estabeleceu um eixo com origem e sentido positivo e aprendeu a representar uma localização por uma coordenada algébrica, como $x=-3\text{m}$. Isso permite descrever onde uma partícula está. Agora vamos distinguir essa ideia de duas outras: a mudança entre duas posições, chamada deslocamento, e o comprimento total do trajeto, chamado distância percorrida.

A diferença é essencial: um objeto pode percorrer uma longa distância e ainda terminar exatamente onde começou. Nesse caso, sua distância percorrida é positiva, mas seu deslocamento é nulo.

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Três perguntas físicas diferentes

Em movimento unidimensional, as três grandezas respondem a perguntas diferentes.

Grandeza	Pergunta que responde	Depende do percurso intermediário?	Pode ser negativa?
Posição $x$	Onde a partícula está em relação à origem?	Não se aplica	Sim
Deslocamento $\Delta x$	Quanto e em que sentido a posição mudou?	Não	Sim
Distância percorrida $D$	Qual foi o comprimento total do caminho feito?	Sim	Não

Considere um eixo horizontal no qual a direita é o sentido positivo.

• $x=-4\text{m}$ significa que a partícula está $4\text{m}$ à esquerda da origem.
• $\Delta x=-4\text{m}$ significa que, durante um intervalo, a posição final ficou $4\text{m}$ à esquerda da posição inicial.
• $D=4\text{m}$ significa apenas que foram percorridos $4\text{m}$ de caminho, sem informar um sentido.

Portanto, um sinal negativo em uma posição informa o lado da origem; um sinal negativo em um deslocamento informa o sentido da mudança de posição. Já a distância percorrida não recebe sinal: não existe “$-4\text{m}$ percorridos”.

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Deslocamento: posição final menos posição inicial

Se a partícula ocupa a posição inicial $x_0$ e depois a posição final $x_f$, seu deslocamento é definido por:

$$\Delta x=x_f-x_0$$

O símbolo $\Delta$, a letra grega delta, significa “variação de”. Assim, $\Delta x$ é a variação da posição.

A ordem da subtração é indispensável: final menos inicial. Não importa que a posição inicial apareça primeiro no enunciado; ela é sempre o termo subtraído.

Exemplo 1: deslocamento positivo

Uma ciclista parte de:

$$x_0=-2\text{m}$$

e chega a:

$$x_f=5\text{m}$$

Logo,

$$\Delta x=5\text{m}-(-2\text{m})=+7\text{m}$$

O sinal positivo informa que a mudança de posição ocorreu no sentido positivo do eixo. A ciclista terminou $7\text{m}$ à direita de onde começou.

Exemplo 2: deslocamento negativo

Agora, uma pessoa parte de:

$$x_0=12\text{m}$$

e chega a:

$$x_f=7\text{m}$$

Então:

$$\Delta x=7\text{m}-12\text{m}=-5\text{m}$$

O resultado negativo não é um erro nem uma distância negativa. Ele informa que a pessoa terminou no sentido negativo em relação ao ponto de partida: $5\text{m}$ à esquerda dele.

Em uma dimensão, é comum escrever o deslocamento com um número e sinal. Em termos físicos mais gerais, o deslocamento é uma grandeza vetorial: tem módulo e direção. No eixo escolhido, o sinal registra essa direção.

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A trajetória intermediária não muda o deslocamento

Imagine que uma pessoa saia de $x_0=0\text{m}$, caminhe até $x=200\text{m}$ e depois retorne até $x_f=150\text{m}$.

Para o deslocamento total, os pontos intermediários não entram diretamente no cálculo:

$$\Delta x=150\text{m}-0\text{m}=+150\text{m}$$

Ela terminou $150\text{m}$ no sentido positivo em relação ao ponto de partida.

Seria incorreto dizer que o deslocamento é $250\text{m}$, pois esse número contabiliza o caminho de ida e o trecho de retorno. Ele corresponde à distância percorrida, não ao deslocamento.

Uma maneira útil de pensar é marcar no chão apenas o ponto inicial e o ponto final. O deslocamento descreve a separação orientada entre essas duas marcas; não registra os desvios ou retornos feitos entre elas.

Na figura, os movimentos A e B não envolvem retorno:

• A começa em $0\text{m}$ e termina em $7\text{m}$, então $\Delta x_A=+7\text{m}$.
• B começa em $12\text{m}$ e termina em $7\text{m}$, então $\Delta x_B=-5\text{m}$.

Já C e D mudam de sentido durante o percurso:

• C começa em $2\text{m}$ e termina em $10\text{m}$, logo seu deslocamento é $+8\text{m}$, embora tenha percorrido mais do que isso.
• D começa em $9\text{m}$ e termina em $5\text{m}$, logo seu deslocamento é $-4\text{m}$, apesar de também ter ido e voltado.

O deslocamento é determinado pelos extremos: início e fim.

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Distância percorrida: somar todos os trechos

A distância percorrida é o comprimento total do caminho realmente feito. Para encontrá-la em um movimento com etapas, somamos os comprimentos de cada trecho, sempre como valores não negativos.

Se uma partícula ocupa sucessivamente as posições $x_0$, $x_1$, $x_2$ e assim por diante, a distância percorrida é:

$$D=|x_1-x_0|+|x_2-x_1|+\cdots$$

Os módulos aparecem porque cada trecho contribui positivamente para o comprimento total, independentemente de ter ocorrido à direita ou à esquerda.

Retomemos o caso de uma pessoa que parte de $0\text{m}$, vai até $200\text{m}$ e retorna até $150\text{m}$.

No primeiro trecho, ela percorre:

$$200\text{m}$$

No segundo trecho, percorre:

$$50\text{m}$$

Assim, a distância percorrida é:

$$D=200\text{m}+50\text{m}=250\text{m}$$

Compare cuidadosamente os resultados:

$$\Delta x=+150\text{m}$$ $$D=250\text{m}$$

Os dois valores estão corretos, mas respondem a perguntas distintas. O deslocamento informa onde a pessoa terminou em relação ao início; a distância informa quanto ela caminhou no total.

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Módulo do deslocamento não é distância percorrida

Há uma distinção que costuma causar confusão:

$$|\Delta x|$$

é o módulo do deslocamento. Ele representa a distância em linha reta, sobre o eixo, entre a posição inicial e a final. Já $D$ representa toda a extensão do trajeto.

No exemplo anterior:

$$|\Delta x|=|+150\text{m}|=150\text{m}$$

Mas:

$$D=250\text{m}$$

Em qualquer movimento unidimensional:

$$D\ge |\Delta x|$$

Há dois casos importantes:

1. Sem inversão de sentido: a distância percorrida e o módulo do deslocamento são iguais.
   Por exemplo, ir de $2\text{m}$ a $9\text{m}$ sem voltar dá $D=7\text{m}$ e $|\Delta x|=7\text{m}$.

2. Com inversão de sentido: a distância percorrida é maior que o módulo do deslocamento.
   Ir de $2\text{m}$ a $9\text{m}$ e depois retornar a $5\text{m}$ dá $D=7\text{m}+4\text{m}=11\text{m}$, mas $\Delta x=+3\text{m}$.

O caso limite é retornar ao ponto de partida. Então o deslocamento é zero, mas a distância percorrida pode ser grande.

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Um percurso completo por etapas

A próxima imagem representa uma pessoa que sai de casa, faz várias etapas ao longo de uma rua e termina do outro lado da casa. Tomemos a casa como origem e o sentido para a direita como positivo.

As posições sucessivas são:

Momento	Posição
Saída de casa	$0\text{km}$
Após a primeira caminhada	$+0,5\text{km}$
Após retornar à casa	$0\text{km}$
Após caminhar novamente para a direita	$+1,0\text{km}$
Posição final	$-0,75\text{km}$

O deslocamento total depende apenas da posição inicial e da final:

$$\Delta x=-0,75\text{km}-0\text{km}=-0,75\text{km}$$

A pessoa terminou $0,75\text{km}$ no lado negativo da casa.

Para a distância percorrida, somamos cada etapa:

$$D=0,5\text{km}+0,5\text{km}+1,0\text{km}+1,75\text{km}$$ $$D=3,75\text{km}$$

É perfeitamente possível, portanto, terminar a apenas $0,75\text{km}$ da origem e ter caminhado $3,75\text{km}$.

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Um procedimento seguro para problemas

Quando um enunciado descreve um movimento em uma reta, use este roteiro:

1. Mantenha o mesmo eixo e o mesmo sentido positivo definidos desde o início.
2. Registre as posições, com sinal e unidade, em cada ponto relevante do percurso.
3. Para o deslocamento total, use apenas:

$$\Delta x=x_f-x_0$$

4. Para a distância percorrida, separe o trajeto em etapas e some os módulos das variações de posição.
5. Faça uma verificação final:
   • o deslocamento pode ter sinal;
   • a distância percorrida deve ser nula ou positiva;
   • a distância percorrida não pode ser menor que o módulo do deslocamento.

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Erros frequentes

Somar os trechos para obter deslocamento.
Somar trechos sem seus sinais fornece distância, não deslocamento. Para deslocamento total, basta comparar posição final e inicial.

Usar o sinal da posição como se fosse sentido de movimento.
Estar em $x=-5\text{m}$ não significa estar se movendo para a esquerda. A partícula pode estar parada ou até se mover para a direita. O sentido do movimento, em um intervalo, aparece no sinal de $\Delta x$.

Escrever distância percorrida negativa.
Se uma pessoa percorreu $4\text{m}$ para a esquerda, seu deslocamento pode ser $-4\text{m}$, mas a distância percorrida é $4\text{m}$.

Confundir a origem com a posição inicial.
A origem é o ponto escolhido como $x=0$. A posição inicial é onde a observação começa; ela pode ser positiva, negativa ou nula.

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Síntese

Posição, deslocamento e distância percorrida usam a mesma unidade de comprimento, mas têm significados diferentes:

• Posição $x$: localização da partícula em relação à origem.
• Deslocamento $\Delta x$: variação orientada de posição, calculada por $x_f-x_0$.
• Módulo do deslocamento $|\Delta x|$: separação entre início e fim, sem direção.
• Distância percorrida $D$: soma de todos os trechos efetivamente percorridos.

A ideia decisiva é: o deslocamento depende somente de onde o movimento começou e terminou; a distância percorrida depende de todo o trajeto.

Na próxima aula, vamos separar com a mesma precisão duas noções temporais que aparecem em toda a cinemática: instante de tempo e intervalo de tempo.