Paralel Yardımcı Doğruyla Benzer Üçgenler Oluşturma

Merhaba! Önceki derste, verilmiş bir paralellikten benzer üçgenleri okuyup oranlar elde ettik. Bu derste yönü tersine çeviriyoruz: Şekilde gerekli ilişki henüz görünmüyorsa, uygun bir noktadan paralel yardımcı doğru çizerek onu biz oluşturacağız.

Bu, olimpiyat geometrisinde temel bir refleks olmalıdır: Hedefte bir oran, eşitlik ya da açı ilişkisi var; mevcut şekil bunu doğrudan vermiyor; o hâlde rastgele çizgi çekmek yerine, hedefe hizmet edecek iki benzer üçgen yaratacak paraleli seçeriz. Dersin sonunda bir paralelin neden çizildiğini, hangi noktadan çizileceğini ve ispatta nasıl gerekçelendirileceğini sistemli biçimde yazabileceksin.

---

Paralel yardımcı doğru: yeni bilgi değil, görünür yapı

Bir yardımcı doğru çizmek, şekle keyfî bir varsayım eklemek değildir. Çizdiğin doğru, mevcut bir noktadan geçer ve bilinen bir doğruya paralel seçilir. Böylece paralel doğruların açı eşitlikleri sayesinde yeni bir benzerlik doğar.

Temel şablon şudur:

• Bir büyük üçgen vardır.
• Bir kenar üzerinde önemli bir nokta bulunur.
• Bu noktadan, üçgenin başka bir kenarına paralel doğru çizilir.
• Yeni doğru öteki kenarı keser.
• Ortaya çıkan küçük ve büyük üçgenler AA ile benzer olur.

Şekilde $B$, $AD$ üzerinde; $C$, $AE$ üzerindedir. Eğer

$$BC\parallel DE$$

ise,

$$\angle ABC=\angle ADE$$

ve

$$\angle ACB=\angle AED$$

olur. Ayrıca $A$ köşesindeki açı ortaktır. Dolayısıyla

$$△ABC\sim △ADE.$$

Bunun verdiği oranlar:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}.$$

Bu oranların önemi şudur: $B$ bilinen bir nokta ise, $B$'den geçen ve $DE$'ye paralel çizilen doğru, $C$ noktasını ve onunla birlikte $AC$, $BC$ gibi yeni uzunluk ilişkilerini zorunlu olarak üretir.

---

İlk temel kullanım: bir kenar üzerindeki noktayı öteki kenara taşımak

Bir üçgenin bir kenarında özel bir nokta verildiğinde, çoğu zaman o özelliği diğer kenara “taşımak” isteriz. Paralel yardımcı doğru bunun en temiz yoludur.

Orta nokta örneği

$ABC$ üçgeninde $D$, $AB$ kenarının orta noktası olsun. Yani

$$AD=DB.$$

$D$ noktasından $BC$'ye paralel bir doğru çizelim; bu doğru $AC$'yi $E$ noktasında kessin:

$$DE\parallel BC.$$

İlk iş, oluşan üçgenleri açıkça belirlemektir:

$$△ADE\sim △ABC.$$

Benzerlikten:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

$D$, $AB$'nin orta noktası olduğundan:

$$AB=AD+DB=2AD.$$

Böylece:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Benzerlik oranından:

$$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Yani:

$$AE=\frac{AC}{2}.$$

Ama

$$AC=AE+EC$$

olduğuna göre:

$$AE=EC.$$

Demek ki $E$, $AC$'nin de orta noktasıdır. Ayrıca:

$$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2},$$

yani

$$DE=\frac{BC}{2}.$$

Burada çizimin iki sonucu vardır:

1. $D$'nin orta nokta özelliği, $E$'ye taşındı.
2. Orta tabanın uzunluğu ile büyük üçgenin tabanı arasında oran kuruldu.

Bu, orta taban teoreminin benzerlikle kurulmuş ispatıdır. Fakat asıl öğrenilmesi gereken teorem değil, çizim kararıdır: Bir kenar üzerindeki $D$ noktasının oranını diğer kenara aktarmak için $D$'den karşı kenara paralel çizdik.

---

Paralel çizmeden önce sorulacak soru

Yardımcı doğruyu çizmeden önce kendine şunu sor:

“Bu paralel, hangi iki üçgeni benzer yapacak ve hedefimdeki hangi doğru parçalarını bu üçgenlere yerleştirecek?”

Örneğin az önceki şekilde hedef $AE$ veya $DE$ ile ilgiliyse, $D$'den $BC$'ye paralel çizmek anlamlıdır; çünkü:

• $AD$, küçük üçgende bulunur.
• $AB$, büyük üçgende onun karşılığıdır.
• $AE$, küçük üçgende bulunur.
• $AC$, büyük üçgende onun karşılığıdır.
• $DE$, küçük tabandır ve $BC$'ye karşılık gelir.

Böylece tek bir paralel, hedefe giden üç farklı oran üretir:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

Buna karşılık, $D$'den gelişigüzel başka bir doğru çizmek iki açı eşitliği üretmeyebilir. Böyle bir çizim şekli kalabalıklaştırır ama çözümü ilerletmez.

---

Yardımcı paralelle “köprü” kurmak

Bazı sorularda amaç yalnızca küçük ve büyük üçgeni benzer yapmak değildir. Bir doğru parçasının uzunluğunu başka bir üçgene taşımak da gerekir. Bunun için paralel doğruyla bir paralelkenar oluşturmak çok etkilidir.

Aşağıdaki yapı, paralel yardımcı çizimin klasik ve önemli bir kullanımıdır.

$ADE$ üçgeninde:

• $B$, $AD$ üzerinde,
• $C$, $AE$ üzerinde,
• $BC\parallel DE$

olsun. Kanıtlamak istediğimiz ilişki:

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}.$$

Bu, paralel doğrunun iki kenarı orantılı böldüğünü söyleyen sonuçtur.

Bu ilişkiyi doğrudan küçük üçgen-büyük üçgen benzerliğiyle ve cebirle ispatlayabilirdik. Fakat yardımcı çizimle daha yapısal bir ispat kurabiliriz.

$B$ noktasından $AE$'ye paralel bir $BF$ doğrusu çizelim; bu doğru, $DE$ doğrusunu $F$ noktasında kessin:

$$BF\parallel AE.$$

Şimdi dörtgen $BCEF$'ye bakalım.

• $BC\parallel EF$, çünkü $BC\parallel DE$ ve $E,F,D$ doğrusal.
• $CE\parallel BF$, çünkü $C,E,A$ doğrusal ve $BF\parallel AE$.

Böylece $BCEF$ bir paralelkenardır. Dolayısıyla karşılıklı kenarları eşittir:

$$BF=CE.$$

Şimdi $△ABC$ ile $△BDF$'yi inceleyelim. Paralellik ve doğrusal noktalar sayesinde:

$$\angle BAC=\angle DBF$$

ve

$$\angle ABC=\angle BDF.$$

Bu nedenle:

$$△ABC\sim △BDF.$$

Karşılıklı kenar oranlarını yazalım:

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BF}.$$

Fakat $BF=CE$ olduğunu kanıtlamıştık. Yerine koyarsak:

$$\boxed{\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}}.$$

Bu ispatta yardımcı doğru $BF$ iki ayrı işi aynı anda yaptı:

1. $△ABC$ ile $△BDF$ arasında benzerlik oluşturdu.
2. $BF$'yi $CE$'ye eşitleyen bir paralelkenar oluşturdu.

İyi yardımcı çizimler genellikle tam olarak böyle çalışır: Hedefteki iki ayrı parçayı, aynı oran zincirine bağlar.

---

Çizimden ispat metnine: eksiksiz yazım

Olimpiyat çözümünde “buradan paralel çizelim” ifadesi tek başına yeterli değildir. Çizimin nereden geçtiği, neye paralel olduğu ve hangi noktayı belirlediği açık olmalıdır.

Örneğin orta nokta örneğinde uygun yazım şöyledir:

Adım	İfade	Gerekçe
1	$D\in AB$ ve $AD=DB$	Verilen
2	$D$'den $BC$'ye paralel doğru çizilsin; bu doğru $AC$'yi $E$'de kessin.	Yardımcı çizim
3	$DE\parallel BC$	Çizimden
4	$\angle ADE=\angle ABC$	Paralel doğrularda yöndeş açılar
5	$\angle AED=\angle ACB$	Paralel doğrularda yöndeş açılar
6	$△ADE\sim △ABC$	AA benzerliği
7	$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$	Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır
8	$AE=EC$ ve $DE=\frac{BC}{2}$	$AD=DB$ kullanılarak

Buradaki düzen önemlidir. Özellikle şu sıralamayı koru:

1. Yardımcı doğruyu tanımla.
2. Paralellikten gelen açı eşitliklerini yaz.
3. Benzerliği kanıtla.
4. Ancak bundan sonra oran kullan.

---

Doğruyu “taşıma” fikrini görselleştirmek

Paralel yardımcı çizim, bazen bir doğrunun yönünü koruyarak onu başka bir noktaya taşımak gibi düşünülebilir. Bu taşıma uzunlukları kendiliğinden eşitlemez; fakat yeni açı eşitlikleri üretir. Eğer ikinci bir paralellik de oluşuyorsa, dörtgen paralelkenara dönüşebilir ve bu kez uzunluk eşitliği de elde edilir.

Aşağıdaki videoda özellikle bu iki aşamayı izle: önce doğru paralel biçimde taşınıyor, sonra oluşan küçük ve büyük üçgenlerden oran yazılıyor.

---

Yardımcı paralel seçmek için karar yöntemi

Bir problemde paralel çizme ihtimalini görmek için aşağıdaki kontrol listesini kullan.

1. Hedefte oran veya eşitlik var mı?

Şu tür hedefler paralel yardımcı doğruya işaret eder:

$$\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YC},$$ $$\frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC},$$

veya

$$XY=\frac{1}{2}BC.$$

Oranlar iki kenar üzerinde bulunan parçalara aitse, özellikle üçgen içinde paralel kesit oluşturma ihtimali yüksektir.

2. Bir kenar üzerinde “özel” bir nokta var mı?

Orta nokta, verilen oranla bölen nokta ya da uzunluğu bilinen parça, paralel çizimin başlangıç noktası olabilir.

Örneğin $D\in AB$ ve

$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$$

biliniyorsa, $D$'den $BC$'ye paralel çizmek doğal bir seçimdir. Bu çizim sayesinde karşı kenarda oluşan $E$ noktası için:

$$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$$

elde edilir.

3. Hangi kenara paralel çizileceğini belirle

Yeni küçük üçgenin büyük üçgene benzemesi için çizdiğin doğru, büyük üçgenin üçüncü kenarına paralel olmalıdır.

• Nokta $AB$ üzerindeyse,
• yeni noktanın $AC$ üzerinde oluşmasını istiyorsan,
• yardımcı doğruyu $BC$'ye paralel çizmelisin.

Böylece küçük üçgenin köşeleri $A,D,E$, büyük üçgenin köşeleri $A,B,C$ olur.

4. Çizimden sonra hemen iki üçgeni adlandır

Şekil karmaşıklaşmadan şu soruyu cevapla:

“Benzer olmasını beklediğim iki üçgen tam olarak hangileri?”

Örneğin:

$$△ADE\text{ve}△ABC.$$

Ardından köşe eşleşmesini yaz:

$$A\leftrightarrow A,D\leftrightarrow B,E\leftrightarrow C.$$

Bu, yanlış oran kurmayı engeller.

---

Sık yapılan hatalar

Paralelliği çizip benzerliği yazmamak

$$DE\parallel BC$$

olması tek başına oran yazma hakkı vermez. Önce:

$$△ADE\sim △ABC$$

sonucunu AA ile gerekçelendirmelisin.

Küçük kenarı, büyük kenarın parçasıyla eşleştirmek

Benzerlikte:

$$AD\leftrightarrow AB$$

olur; çünkü $AD$, küçük üçgende $AB$'nin karşılığıdır. Buna karşılık $DB$, büyük kenarın kalan parçasıdır ve doğrudan $AD$'nin karşılığı değildir.

Genellikle doğru başlangıç oranı:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$

olur; doğrudan

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

yazılacaksa, bunun ayrıca türetilmesi ya da yardımcı çizimle kanıtlanması gerekir.

Tek paralellikten paralelkenar sonucu çıkarmak

Bir dörtgenin paralelkenar olması için iki çift karşılıklı kenarın da paralel olduğunu göstermelisin. Yardımcı çizimli ispatta:

$$BC\parallel EF$$

ve

$$CE\parallel BF$$

birlikte kullanıldığı için $BCEF$ paralelkenardır.

Hedefe hizmet etmeyen çizim yapmak

Bir yardımcı çizgi iki soruya olumlu cevap vermelidir:

• En az iki açı eşitliği oluşturuyor mu?
• Hedefteki bir uzunluğu veya oranı yeni benzer üçgenlerin içine taşıyor mu?

Bu iki sorudan birinin cevabı hayırsa, çizim muhtemelen doğru fikir değildir.

---

Bu derste paralel yardımcı doğrunun yalnızca “çizilen ek bir doğru” olmadığını gördük. Doğru seçildiğinde:

• AA benzerliğiyle yeni oranlar üretir,
• bir kenardaki oranı diğer kenara taşır,
• paralelkenar oluşturarak eş uzunluklar sağlayabilir,
• görünmeyen bir ispat köprüsünü açık hâle getirir.

Özellikle şu iki kalıbı hatırla:

$$D\in AB,DE\parallel BC,E\in AC$$

ise

$$△ADE\sim △ABC.$$

Ve hedefte iki farklı kenar üzerindeki kalan parçalar varsa, paralelkenar oluşturacak ikinci bir paralel çizim güçlü bir adaydır.

Sonraki derste paralel yerine başka bir yardımcı çizim türüne geçeceğiz: eş uzunluk taşıyan bir yardımcı nokta ekleyerek ikizkenar üçgen oluşturmak. Bu kez oranlardan çok, eş kenarların ürettiği açı eşitliklerini kullanacağız.