Üçgen Benzerliğinden Uzunluk Oranı Bulma

Merhaba! Önceki derste üçgen eşliğini, ispat içinde gerekli açı ve kenar eşitliklerini üreten bir araç olarak kullandık. Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşitti. Şimdi aynı fikrin daha esnek hâline geçiyoruz: Üçgenler eş olmak zorunda olmadan aynı biçimde olabilir; bu durumda karşılıklı kenarlar eşit değil, orantılıdır.

Bu derste bir benzerliği güvenilir biçimde okuyup uygun kenarları eşleştirecek, benzerlik oranını kuracak ve hedefteki uzunluk ya da parça oranını çıkaracaksın. Olimpiyat geometrisinde önemli olan bütün oranları gelişigüzel yazmak değil, sorunun istediği bağıntıyı sağlayan iki karşılıklı kenarı seçmektir.

---

Benzerlik: aynı biçim, farklı ölçek

İki üçgen benzerse karşılıklı açıları eşittir; buna karşılık gelen kenarları ise ortak bir katsayıyla büyümüş veya küçülmüş olur.

$$△ABC\sim △DEF$$

yazımı şu eşleşmeyi bildirir:

$$A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F.$$

Dolayısıyla kenar eşleşmeleri de şöyledir:

$ABC$ üçgeni	$DEF$ üçgeni
$AB$	$DE$
$BC$	$EF$
$CA$	$FD$

Buna göre benzerlikten çıkarabileceğimiz temel oran zinciri:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k$$

olur. Buradaki $k$, ilk yazılan üçgenin ikinciye göre benzerlik oranıdır.

Önceki dersle bağlantı kurarsak:

• Üçgenler eşse karşılıklı kenarların oranı $1$ olur.
• Benzerlikte $k=1$ olması eşlik demektir.
• Fakat $k\ne 1$ ise üçgenler benzer olabilir, eş değildir.

Örneğin

$$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$$

ise, $ABC$ üçgeninin karşılık gelen tüm kenarları $DEF$ üçgeninin kenarlarının $\frac{3}{2}$ katıdır. Bu, $ABC$’nin daha büyük olduğu anlamına gelir.

Benzerlik oranını anlamanın en sağlam yolu, üçgen adlarındaki harf sırasını kenar sırasına taşımaktır. Örneğin $AB$ ilk üçgendeki birinci ve ikinci harften oluşur; karşılığı ikinci üçgendeki birinci ve ikinci harf olan $DE$’dir. Bu yöntem, şekil döndürülmüş veya karmaşık çizilmiş olsa bile çalışır.

---

Benzerliği kurmak ve oranı kullanmak ayrı adımlardır

Bir ispatta şu iki cümle aynı şey değildir:

1. $△ABC\sim △DEF$.
2. $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.

İlk cümle, üçgenlerin benzer olduğunu kanıtlayan ara sonuçtur. İkinci cümle ise bu sonucun verdiği oran hakkını kullanmaktır.

Benzerliği kurmak için temel ölçütler şunlardır:

Ölçüt	Gerekli bilgi
AA	İkişer açı eşit
KAK benzerliği	İkişer kenar orantılı ve aradaki açılar eşit
KKK benzerliği	Üç karşılıklı kenar çifti orantılı

Özellikle olimpiyat sorularında en yaygın kaynaklar şunlardır:

• Paralel doğruların oluşturduğu yöndeş veya iç ters açılar,
• Kesişen doğruların oluşturduğu ters açılar,
• İç içe üçgenlerde ortak açı,
• Dik açıların eşitliği,
• Verilen oranlar.

Benzerliği bulduktan sonra oran kurarken tek bir yön seçip o yönü bozmamak gerekir. Örneğin

$$△ABC\sim △DEF$$

için şu yazım doğrudur:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}.$$

Bunun tersi de doğrudur:

$$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}.$$

Fakat aşağıdaki gibi yönleri karıştırmak yanlıştır:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{EF}{BC}.$$

Burada ikinci kesir ilkinin tersi olduğundan, ancak oran $1$ ise eşit olabilir.

Hedefe göre oran seçmek

Diyelim ki

$$△ABC\sim △DEF$$

ve şu uzunluklar verilmiş olsun:

$$AB=15,DE=10,BC=12,EF=x.$$

Hedef $x=EF$ olduğuna göre, doğrudan $EF$’nin karşılığı olan $BC$’yi seçeriz:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}.$$

Yerine yazalım:

$$\frac{15}{10}=\frac{12}{x}.$$

İçler dışlar çarpımından:

$$15x=120,$$

dolayısıyla

$$x=8.$$

Burada $AC$ ve $DF$ uzunluklarını bilmeye ihtiyacımız yoktu. Benzerlikte bütün karşılıklı kenarlar orantılıdır; ama çözümde yalnızca hedefe hizmet eden oranı kullanmak daha temizdir.

---

İç benzerlik: paralel bir kesit ve parça oranları

Bir üçgende iki kenarı kesen doğru parçası üçüncü kenara paralelse, küçük üçgen büyük üçgene benzerdir. Bu yapı, ileride paralel yardımcı doğru çizme konusunun temel biçimlerinden biri olacak; şimdilik verilmiş paralellikten hangi oranların çıktığını okuyalım.

Şekilde

$$DE\parallel BC$$

olsun. $D$, $AB$ üzerinde; $E$ de $AC$ üzerinde bulunduğu için:

$$\angle DAE=\angle BAC.$$

Ayrıca paralellikten:

$$\angle ADE=\angle ABC.$$

İki açı eşit olduğundan AA benzerliğiyle:

$$△ADE\sim △ABC.$$

Harf sırası özellikle önemlidir:

$$A\leftrightarrow A,D\leftrightarrow B,E\leftrightarrow C.$$

Bu eşleşmeden hemen:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

elde edilir.

Bu oran, küçük üçgenin büyük üçgene göre ölçek katsayısıdır. Örneğin

$$AD=6,AB=15,AC=20,BC=25$$

olsun. Önce katsayıyı buluruz:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$$

O hâlde:

$$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}.$$

Buradan

$$\frac{AE}{20}=\frac{2}{5}$$

ve dolayısıyla

$$AE=8$$

bulunur.

Aynı şekilde:

$$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$$

olduğundan

$$\frac{DE}{25}=\frac{2}{5},$$

yani

$$DE=10.$$

Bu hesabın ispat diliyle özeti şöyledir:

Adım	İfade	Gerekçe
1	$\angle DAE=\angle BAC$	$D,A,B$ ve $E,A,C$ doğrusal
2	$\angle ADE=\angle ABC$	$DE\parallel BC$
3	$△ADE\sim △ABC$	AA benzerliği
4	$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$	Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır
5	$AE=8,DE=10$	Oranların kullanılması

---

Bütün kenarlar değil, kalan parçalar da oranlanır

Olimpiyat sorularında hedef çoğu zaman $AD$ veya $AE$ değildir. Soruda $DB$, $EC$ ya da bunların oranı istenebilir. Bu nedenle benzerlik oranını, kenarın kalan parçasına dönüştürmeyi öğrenmek gerekir.

Az önceki örnekte:

$$AD=6,AB=15$$

olduğundan

$$DB=AB-AD=15-6=9.$$

Benzer biçimde:

$$EC=AC-AE=20-8=12.$$

Böylece:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

ve

$$\frac{AE}{EC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Bu sonuç rastlantı değildir. Genel olarak

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=k$$

ise,

$$AD=kAB,DB=AB-AD=(1-k)AB.$$

Buna göre:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{kAB}{(1-k)AB}=\frac{k}{1-k}.$$

Aynı hesap diğer kenarda da geçerlidir:

$$\frac{AE}{EC}=\frac{k}{1-k}.$$

Dolayısıyla önemli bir sonuç elde ederiz:

$$\boxed{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

Bu eşitlik, paralel doğruyla oluşan iç benzerlikte çok sık kullanılır. İlk oran küçük üçgenin büyük üçgene göre ölçeğini verir; ikinci oran ise iki kenarın nasıl bölündüğünü anlatır.

Bu iki oranı karıştırmamak gerekir:

$$\frac{AD}{AB}\ne \frac{AD}{DB}$$

genel olarak. İlk oran “küçük parça / bütün kenar”, ikincisi “küçük parça / kalan parça” oranıdır.

---

Kesişen doğrularda benzerlik: kelebek yapısı

Benzerlik her zaman bir büyük üçgenin içinde görünmez. İki doğru kesiştiğinde ve iki karşı kenar paralel olduğunda, karşılıklı duran iki üçgen benzerdir.

$P,A,C$ noktaları bir doğru üzerinde, $P,B,D$ noktaları başka bir doğru üzerinde olsun. Ayrıca:

$$AB\parallel CD.$$

Bu durumda $△PAB$ ile $△PCD$’yi inceleyelim.

• $\angle PAB=\angle PCD$, çünkü $AB\parallel CD$.
• $\angle PBA=\angle PDC$, yine paralellikten.
• Ayrıca $P$ noktasındaki açılar ters açılardır.

Böylece:

$$△PAB\sim △PCD.$$

Doğru harf sırasıyla yazdığımız için karşılıklar açıktır:

$$P\leftrightarrow P,A\leftrightarrow C,B\leftrightarrow D.$$

Dolayısıyla:

$$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{CD}.$$

Şimdi

$$PA=6,PC=15,PB=8$$

ve $PD=x$ olsun. Hedef doğrudan $x$ olduğundan, $PB$ ve $PD$’yi içeren oranı seçeriz:

$$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}.$$ $$\frac{6}{15}=\frac{8}{x}.$$

Sadeleştirme yaparsak:

$$\frac{2}{5}=\frac{8}{x}.$$

Buradan:

$$2x=40,$$

yani

$$x=20.$$

Bu tür şekillerde paralellik ilk bakışta uzakta kalabilir. Ancak ters açıyı ve paralelliğin ürettiği ikinci açı eşitliğini fark ettiğinde, benzer üçgenler görünür hâle gelir.

---

Oran kurmadan önce kısa denetim

Bir benzerlik sorusunda işlemden önce şu sırayı uygula:

1. İki üçgeni sınırlarıyla belirle. Şeklin içinde hangi üç kenarın bir üçgen oluşturduğunu açıkça gör.
2. Benzerliği kanıtla. AA, KAK veya KKK ölçütlerinden hangisinin geçerli olduğunu yaz.
3. Köşe eşleşmesini belirle. Eş açılardan başlayarak üçgenleri doğru sırayla adlandır.
4. Karşılıklı kenarları eşleştir. Kenarın uç noktalarının karşılıklarına bak.
5. Hedefi içeren oranı seç. Bilinmeyen $x$ hangi kenardaysa, onun karşılığını bul.
6. Parçaya dikkat et. $AB$ bütün kenarken, $AD$ ve $DB$ onun parçalarıdır; aynı şey değildir.
7. Sonucun yönünü kontrol et. Küçük üçgenin karşılığı olan bir kenar, büyük üçgendeki karşılığından daha büyük çıkıyorsa kurduğun oranı yeniden incele.

---

Bu derste benzerlikten uzunluk oranı çıkarma yöntemini ispat diliyle kurduk.

• Benzer üçgenlerde karşılıklı açıların eşit, karşılıklı kenarların orantılı olduğunu gördük.
• Üçgenlerin yazılış sırasının, hangi kenarların karşılık geldiğini belirlediğini kullandık.
• Benzerliği önce AA, KAK veya KKK ile kanıtlayıp oranları ancak sonra yazdık.
• İç benzerlikte

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

oranını elde ettik.

• Küçük parça ile kalan parça arasındaki ilişkinin

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

olduğunu türettik.

• Kesişen doğrular ve paralellik içeren kelebek yapısında doğru üçgen eşleşmesini kurduk.

Sonraki derste bu yapıyı ters yönden kullanacağız: Verilmiş paralellikleri yalnızca okumakla kalmayacak, uygun bir paralel yardımcı doğru çizerek kendimiz benzer üçgen oluşturacağız.