Yardımcı Noktayla İkizkenar Üçgen Oluşturma

Merhaba! Önceki derste bir noktadan paralel çizerek benzer üçgenler oluşturmuş, oranları şeklin bir kenarından diğerine “taşımayı” öğrenmiştik. Bu derste ise oran yerine eşit uzunlukların ürettiği açı eşitliklerini kullanacağız.

Olimpiyat geometrisinde bazen gerekli açı eşitliği şekil üzerinde hazır değildir. Fakat uygun yere, mevcut bir uzunluğa eşit olacak biçimde yeni bir nokta eklersen bir ikizkenar üçgen oluşur. İkizkenar üçgen de iki eşit açı verir. Bu küçük müdahale, özellikle açı avı sorularında çözümün bütün yapısını değiştirebilir.

Bu dersin ana hedefi şudur: Bir uzunluğu neden ve nereye “taşıdığını” rastgele değil, hedefteki açı veya eşitliği görünür kılacak şekilde seçebilmek.

---

Eşit kenar, eşit açı: yardımcı noktanın temel gücü

Bir üçgende iki kenar eşitse, o kenarların karşısındaki açılar da eşittir:

$$PX=PY⟹\angle PXY=\angle XYP.$$

Bu çok temel bilgi, yardımcı çizim yapıldığında yeni bir anlam kazanır. Çünkü artık $PX=PY$ eşitliğini sadece verilen olarak beklemezsin; sen oluşturursun.

Örneğin şekil üzerinde $PX$ uzunluğu önemliyse ve $Y$ noktasının belirli bir doğru üzerinde olması gerekiyorsa, $Y$'yi şu koşulla seçebilirsin:

$$PY=PX.$$

Böylece $△PXY$ ikizkenardır. Artık $X$ veya $Y$ köşesinde elde edilen eşit açı, başka bir üçgenin açısıyla birleşebilir.

Yardımcı noktanın yaptığı iş çoğu zaman üç aşamalıdır:

1. Var olan bir uzunluğu yeni bir konuma kopyalarsın.
2. Bir ikizkenar üçgen oluşur.
3. İkizkenar üçgenden gelen açı eşitliğini, hedefe giden açı zincirine bağlarsın.

Buradaki kritik fikir şudur:

Yardımcı noktayı “bir eşitlik elde etmek” için değil, o eşitliğin doğuracağı açı ilişkisini kullanmak için ekleriz.

---

Uzunluk nasıl taşınır?

Geometrik olarak $PX=PY$ koşulunu sağlamak için merkezî $P$, yarıçapı $PX$ olan bir çember düşünülür. $Y$, bu çemberin uygun doğru veya ışınla kesişim noktası seçilir.

Örneğin $Y$'nin $AC$ doğrusu üzerinde bulunması isteniyorsa:

• Merkezi $P$, yarıçapı $PX$ olan çemberi düşün.
• Bu çemberin $AC$ ile gerekli kesişim noktasını $Y$ al.
• Böylece $PY=PX$ olur.

İspatta bunu şöyle yazmak yeterlidir:

$AC$ üzerinde $PY=PX$ olacak şekilde $Y$ noktası seçilsin.

Bu cümle hem yardımcı noktanın yerini hem de taşıdığın uzunluğu açıkça belirtir.

Ancak her eşitlik yararlı değildir. Yeni eşit uzunluğun, ya hedefteki bir parçaya bağlanması ya da bilinen başka bir eşitlikle zincir oluşturması gerekir. Aksi hâlde yalnızca yeni bir ikizkenar üçgen çizmiş olursun; çözüm ilerlemez.

---

Hangi uzunluğu kopyalamalıyım?

Bir yardımcı nokta seçmeden önce şu soruyu sor:

“Bu yeni eşitlik, zaten bildiğim veya hedefte kullanacağım hangi uzunluğa bağlanacak?”

Özellikle şu durumlar güçlü işaretlerdir:

• Şekilde iki farklı üçgende aynı uzunluğa eşit olduğu kanıtlanabilecek parçalar vardır.
• Bir açının $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ gibi özel bir ölçüsü vardır.
• Hedef belirli bir açıyı bulmaktır.
• Bir üçgende iki açı eşit görünmektedir, ama eşit kenar henüz yoktur.
• Verilen bir uzunluk, başka bir uzunluğa “köprü” olabilir.

Örneğin elinde

$$EB=BC$$

eşitliği varsa ve $BK=BC$ olacak biçimde $K$ eklersen, otomatik olarak

$$EB=BK$$

elde edilir. Böylece $△EBK$ ikizkenar olur. Eğer ayrıca

$$\angle EBK=60^{\circ }$$

ise bu üçgen yalnızca ikizkenar değil, eşkenardır. Bu durum sonraki açı hesaplarını çok güçlü hâle getirir.

---

Uzunluk toplamı ve farkı bir ipucu olabilir

Bazı olimpiyat sorularında yardımcı nokta, doğrudan açı üretmekten önce uzunluk toplamını veya farkını daha kullanışlı bir doğru parçasına dönüştürür.

Bu nottan alınacak iki pratik kalıp vardır.

Toplamı açma

Eğer

$$AX+AY$$

ifadesi önemliyse, $AX$ ışını üzerinde

$$X{Y}^{\prime }=AY$$

olacak şekilde $Y^{\prime }$ seçilebilir. Böylece $A,X,Y^{\prime }$ doğrusal olduğundan:

$$A{Y}^{\prime }=AX+X{Y}^{\prime }=AX+AY.$$

Bu işlem tek başına mutlaka ikizkenar üçgen oluşturmaz; fakat $AY$ uzunluğunu yeni bir yere taşıdığı için başka bir eşitlikle birleşebilir.

Farkı görünür yapma

Eğer aynı başlangıç noktasından çıkan iki uzunluğun farkı önemliyse, örneğin $AX$ ve $AY$, $AY$ ışını üzerinde

$$A{X}^{\prime }=AX$$

olacak şekilde $X^{\prime }$ seçilebilir. Bu kez:

$$△AX{X}^{\prime }$$

ikizkenardır. Ayrıca $X^{\prime }$, $A$ ile $Y$ arasında seçilmişse:

$$X^{\prime }Y=AY-AX.$$

Bu yapı, hem uzunluk farkını ayrı bir parça hâline getirir hem de ikizkenar üçgenden açı eşitlikleri üretir.

Bu iki kalıbın ortak fikri şudur: uzunlukları, şekil üzerinde işe yarayacak yeni bir yere taşı.

---

Görselde eşit uzunlukları fark etmek

Aşağıdaki şekil, eşit uzunluk etiketlerinin neden dikkat çekmesi gerektiğini gösterir.

Burada doğrudan şu sonucu yazabiliriz:

$$AF=FD⟹\angle FAD=\angle ADF.$$

Şekilde $F$, $AC$ üzerinde; $D$, $AB$ üzerindedir. Bu nedenle

$$\angle FAD=\angle CAD.$$

Yani ikizkenar üçgenden gelen açı, büyük üçgenin bir açısıyla doğrudan bağlanır. Olimpiyat sorularında tam olarak bu tür bağlantılar aranır: Yeni oluşan üçgenin açıları, eski şeklin kritik açılarıyla çakışmalıdır.

---

Yardımcı nokta seçme protokolü

Bir soruda eş uzunluk taşıyan yardımcı nokta eklemeyi düşünüyorsan, aşağıdaki sırayı uygula.

1. Hedefin açı mı, uzunluk mu olduğunu belirle

Hedef bir açı ise, ikizkenar üçgen güçlü bir adaydır. Çünkü ikizkenar üçgen doğrudan iki açı eşitliği üretir.

Hedef bir uzunluk eşitliği ise, önce bu eşitliğin ikizkenar üçgen kurarak elde edilip edilemeyeceğini düşün.

2. Şekildeki “köprü uzunluğu” bul

Şu tür bir zincir ararsın:

$$\text{bilinen uzunluk}=\text{yardımcı uzunluk}=\text{bas¸ka bir o¨nemli uzunluk}.$$

Örneğin:

$$EB=BC$$

zaten biliniyorsa, $BK=BC$ inşası sana hemen

$$EB=BK$$

verir.

3. Yeni noktanın yerini kısıtla

Noktanın herhangi bir yerde olması çözümü belirsizleştirir. Genellikle nokta:

• belirli bir kenar üzerinde,
• belirli bir doğru üzerinde,
• belirli bir ışın üzerinde,
• ya da belirli bir çember üzerinde

seçilir.

Bu yer kısıtı, yeni açının eski açılarla ilişki kurmasını sağlar.

4. İkizkenar üçgenden gelen açıları hemen yaz

Yardımcı noktayı çizip bekleme. Örneğin:

$$BK=BD$$

ise hemen:

$$\angle BKD=\angle KDB$$

yaz. Çözümün devamı çoğu zaman bu iki açının hangi büyük açılara ait olduğunu anlamaya bağlıdır.

5. Özel açılara dikkat et

Özellikle $60^{\circ }$ güçlü bir sinyaldir. İki eş kenarın arasındaki açı $60^{\circ }$ ise, ikizkenar üçgen eşkenara dönüşür:

$$PX=PY,\angle XPY=60^{\circ }⟹PX=PY=XY.$$

Bu sonuç, üçüncü bir uzunluğu da eşitlik zincirine ekler.

---

Klasik uygulama: Langley üçgeninde eş uzunluk taşıma

Şimdi bu yöntemin çok tanınmış bir olimpiyat açı probleminde nasıl çalıştığını görelim. Bu soru, yardımcı noktanın rastgele değil, mevcut uzunlukları bilinçli biçimde birbirine bağlamak için seçildiği çok iyi bir örnektir.

Problem düzeni

$ABC$ ikizkenar üçgeninde

$$AB=AC$$

ve tepe açısı

$$\angle BAC=20^{\circ }$$

olsun. Bu nedenle taban açıları:

$$\angle ABC=\angle BCA=80^{\circ }.$$

$D$, $AC$ üzerinde ve

$$\angle DBC=60^{\circ }$$

olacak biçimde seçilmiş olsun. $E$ de $AB$ üzerinde ve

$$\angle ECB=50^{\circ }$$

olsun. Amaç:

$$\angle EDB$$

açısını bulmaktır.

İlk bakışta hedefteki $D$, $E$, $B$ noktalarını aynı üçgende birleştirmek zor görünür. $E$ ile $D$ arasında verilmiş hiçbir uzunluk yoktur. Bu yüzden çözüm, önce $E$'yi $B$ ve $C$ ile ilişkilendirecek bir uzunluk bulur.

Birinci eşitlik: $EB=BC$

$△BEC$'de:

$$\angle EBC=\angle ABC=80^{\circ }$$

ve verilene göre:

$$\angle ECB=50^{\circ }.$$

O hâlde:

$$\angle BEC=180^{\circ }-80^{\circ }-50^{\circ }=50^{\circ }.$$

Böylece:

$$\angle BEC=\angle ECB.$$

Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşit olduğundan:

$$EB=BC.$$

Bu önemli fakat henüz hedefe doğrudan ulaşmıyor. Şimdi $BC$ uzunluğunu taşıyacak uygun bir yardımcı nokta ekleyeceğiz.

Yardımcı inşa: $BK=BC$

$K$, $AC$ üzerinde ve $K\ne C$ olmak üzere

$$BK=BC$$

olacak şekilde seçilsin.

Bu seçim, bir önceki sonuçla birleşir:

$$EB=BC=BK.$$

Fakat önce $△BCK$'deki açıları bulalım. $BK=BC$ olduğundan bu üçgen ikizkenardır. Ayrıca $K$, $AC$ üzerinde bulunduğu için:

$$\angle BCK=\angle BCA=80^{\circ }.$$

İkizkenar üçgende taban açıları eşit olduğundan:

$$\angle BKC=80^{\circ }.$$

Böylece:

$$\angle CBK=180^{\circ }-80^{\circ }-80^{\circ }=20^{\circ }.$$

Şimdi $BK$, $\angle ABC$ içinde olduğundan:

$$\angle EBK=\angle EBC-\angle CBK.$$

Dolayısıyla:

$$\angle EBK=80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }.$$

Öte yandan daha önce elde ettiğimiz uzunluk zinciri şuydu:

$$EB=BK.$$

Yani $△EBK$ ikizkenardır ve tepe açısı $60^{\circ }$'dir. Taban açıları:

$$\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

olur. Demek ki:

$$△EBK$$

eşkenardır. Özellikle:

$$EK=BK.$$

İşte yardımcı noktanın asıl gücü burada görünür: $BK=BC$ inşası, önce $BCK$ ikizkenar üçgenini; sonra $EBK$ eşkenar üçgenini oluşturdu.

---

Son açı zinciri

$△BCD$'de:

$$\angle DBC=60^{\circ },\angle BCD=80^{\circ }.$$

Bu yüzden:

$$\angle BDC=180^{\circ }-60^{\circ }-80^{\circ }=40^{\circ }.$$

$C,K,D$ doğrusal olduğundan:

$$\angle BDK=40^{\circ }.$$

Ayrıca:

$$\angle DBK=\angle DBC-\angle KBC=60^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }.$$

Böylece $△BDK$ ikizkenardır:

$$BK=DK.$$

Fakat eşkenar $△EBK$'den zaten:

$$BK=EK.$$

O hâlde:

$$DK=EK.$$

Yani $△DKE$ de ikizkenardır.

Şimdi $K$ köşesine bakalım. $△BCK$'de:

$$\angle BKC=80^{\circ }.$$

$C,K,D$ doğrusal olduğundan:

$$\angle BKD=100^{\circ }.$$

Öte yandan eşkenar $△BKE$'den:

$$\angle BKE=60^{\circ }.$$

Dolayısıyla:

$$\angle DKE=100^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }.$$

$△DKE$ ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir:

$$\angle KDE=\angle DEK=\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=70^{\circ }.$$

Son olarak $D$ noktasında:

$$\angle KDB=40^{\circ }$$

ve

$$\angle KDE=70^{\circ }.$$

Buna göre:

$$\angle EDB=70^{\circ }-40^{\circ }=\boxed{30^{\circ }}.$$

---

Bu çözümden alınacak inşa fikri

Langley probleminde $K$ rastgele seçilmedi. Seçimin mantığı şu zincirdi:

Adım	Elde edilen ilişki
$△BEC$ açıları	$EB=BC$
Yardımcı inşa	$BK=BC$
Uzunluk zinciri	$EB=BK$
Özel açı	$\angle EBK=60^{\circ }$
Sonuç	$△EBK$ eşkenar
Yeni uzunluk	$EK=BK$
Başka ikizkenar üçgen	$BK=DK$
Sonuç	$DK=EK$

Bu nedenle problemdeki asıl fikir yalnızca “$BK=BC$ çizelim” değildir. Asıl fikir:

$BC$, hem $EB$'ye hem de $BK$'ye eşit yapılabilecek ortak uzunluktur.

Böylece $BC$, şeklin iki uzak bölgesini birbirine bağlayan bir uzunluk köprüsü olur.

---

Sık yapılan hatalar

Eşitliği kurup açıları kullanmamak

Örneğin

$$BK=BC$$

yazıp devam etmemek yeterli değildir. Bu eşitliğin hangi üçgeni ikizkenar yaptığını belirtmelisin:

$$△BCK\text{ ikizkenardır.}$$

Ardından hangi açıların eşit olduğunu yazmalısın.

Yanlış taban açılarını eşitlemek

$$BK=BC$$

ise eşit kenarlar $B$ köşesinde birleşir. Dolayısıyla eşit açılar:

$$\angle BCK\text{ve}\angle BKC$$

olur. $\angle CBK$ tepe açısıdır; onun eşit olması gerekmez.

Yardımcı noktayı konumsuz tanımlamak

“$BK=BC$ olacak bir $K$ alalım” ifadesi eksiktir. Çünkü $K$ düzlemde pek çok yerde bulunabilir. Doğru yazım:

$AC$ üzerinde $BK=BC$ olacak ve $K\ne C$ olacak biçimde $K$ seçilsin.

Bu konum bilgisi, $\angle BCK=\angle BCA$ diyebilmemizi sağlar.

Eşkenar sonucu için gerekçeyi atlamak

$$EB=BK$$

ve

$$\angle EBK=60^{\circ }$$

verildiğinde $△EBK$'nin eşkenar olduğu doğrudur. Ancak bunu gerekçesiz bırakma. Önce ikizkenar üçgenin diğer iki açısının da $60^{\circ }$ olduğunu, sonra tüm kenarların eşit olduğunu belirt.

---

Bu derste eş uzunluk taşıyan yardımcı noktanın, olimpiyat geometrisinde güçlü bir açı üretme aracı olduğunu gördük.

Temel reflekslerin şunlar olmalı:

• Bir uzunluğu uygun doğru veya kenar üzerinde kopyalayarak ikizkenar üçgen oluştur.
• Eşit kenarlardan gelen taban açılarını hemen yaz.
• Yeni eşitliğin, şeklin başka yerindeki hangi uzunlukla birleşeceğini önceden düşün.
• $60^{\circ }$ ile birleşen ikizkenar üçgenin eşkenar olabileceğini kontrol et.
• Yardımcı noktayı mutlaka hem konumu hem de eşitlik koşuluyla tanımla.

Sonraki derste farklı bir yardımcı çizim türüne geçeceğiz: bir kenarı uzatarak dış açı ve doğrusal açı ilişkilerini görünür hâle getirmek. Bu kez yeni bir nokta eşitlik için değil, gizli kalan açıların toplamını ortaya çıkarmak için kullanılacak.