Olimpiyat İspatlarında Üçgen Eşliğini Kullanma

Merhaba! Önceki derste bir teoremin yönünü dikkatle kullanmayı; özellikle ters ile karşıt tersi ayırmayı gördük. Bu dikkat, üçgen eşliğinde de gereklidir: “Üçgenler eş” sonucunu ancak uygun koşullar gerçekten sağlanıyorsa yazabilir, ardından bu eşlikten istediğimiz açı ya da kenar eşitliğini çıkarabiliriz.

Bu derste amaç yalnızca SSS veya SAS adlarını ezberlemek değil. Olimpiyat ispatlarında üçgen eşliğini bir ara sonuç üretme makinesi gibi kullanacaksın: Şekilde iki üçgen seçilecek, eşlikleri kanıtlanacak, sonra hedefe gerekli olan eş açı, eş kenar, açıortay ya da paralellik sonucu elde edilecek.

---

Eş üçgen ne demektir?

İki üçgen eş ise, biri ötekinin öteleme, dönme veya yansıtma ile tam üstüne getirilebilir. Yani yalnız biçimleri değil, bütün karşılık gelen kenar ve açıları da aynıdır.

Örneğin

$$△ABC\cong △DEF$$

yazıyorsak, harflerin sırası bir bilgi taşır:

$$A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F.$$

Buna göre zorunlu olarak

$$AB\cong DE,BC\cong EF,AC\cong DF$$

ve

$$\angle A\cong \angle D,\angle B\cong \angle E,\angle C\cong \angle F$$

olur.

Bu nedenle üçgenlerin isimlendirme sırası süs değildir. Yanlış sıra yazılırsa, sonraki açı veya kenar eşitlikleri de yanlış eşleştirilebilir.

Örneğin

$$△ABD\cong △ACD$$

ifadesinde karşılıklar şöyledir:

İlk üçgen	İkinci üçgen
$A$	$A$
$B$	$C$
$D$	$D$

Dolayısıyla $AB$ ile $AC$, $BD$ ile $CD$, $\angle BAD$ ile $\angle CAD$ karşılıklıdır.

---

Eşliği kanıtlayan ölçütler

Bir üçgenin “kilitlendiğini” gösterecek yeterli bilgiye ihtiyacımız vardır. Olimpiyat ispatlarında temel eşlik ölçütleri şunlardır:

Ölçüt	Bilinenler	Kritik ayrıntı
SSS	Üç karşılık gelen kenar	Üç kenarın tamamı eş olmalı
SAS	İki kenar ve aralarındaki açı	Açı, verilen iki kenarın arasında olmalı
ASA	İki açı ve aralarındaki kenar	Kenar, iki açının arasında olmalı
AAS	İki açı ve arada olmayan bir kenar	Üçüncü açı zaten belirlenir
RHS / HK	İki dik üçgende hipotenüs ve bir dik kenar	Yalnızca dik üçgenlerde kullanılır

Aşağıdaki şema, bu ölçütleri ve çok önemli bir tuzağı özetliyor.

Özellikle iki hata sık görülür:

• SSA, yani iki kenar ve arada olmayan açı, genel olarak eşlik vermez. Verilen uzunluklar ve açıyla üçüncü köşe iki farklı konumda bulunabilir.
• AAA, yani üç açının eşliği, eşlik değil yalnızca benzerlik verir. Üçgenlerin biçimi aynı olabilir, fakat biri diğerinin büyütülmüş hâli olabilir.

SAS ile SSA arasındaki farkı özellikle dikkatle izle. SAS’ta açı, eş olduğu bilinen iki kenarın oluşturduğu açıdır.

---

Eşlik ispatında bilgi kaynakları

Olimpiyat sorularında “üç kenar eş verilmiş” kadar rahat durumlarla her zaman karşılaşmazsın. Genellikle eşlik için gereken üçüncü bilgi, şeklin içinden çıkarılır.

En sık kullanılan kaynaklar şunlardır:

Bilgi kaynağı	Elde edilen sonuç
Ortak kenar	Örneğin $AD\cong AD$
Orta nokta	$D$, $BC$’nin orta noktasıysa $BD\cong DC$
Açıortay	İki küçük açı eş olur
Dik doğrular	Oluşan açılar dik açıdır; dolayısıyla eştir
Kesişen doğrular	Ters açılar eştir
Verilen eş kenarlar	Doğrudan kullanılabilir
Eş açılara tümleyen veya bütünler açılar	Yeni eş açılar üretilebilir

Bir kenarın kendisine eş olması için kullanılan gerekçe yansıma özelliğidir:

$$AD\cong AD.$$

Bu çok basit görünür; fakat özellikle şekli iki küçük üçgene bölen bir yardımcı doğru çizildiğinde, eşlik ispatının eksik parçası çoğu zaman ortak kenardır.

---

Eşlikten sonra: karşılıklı parçalar

Eşliği ispatlamak çoğu zaman asıl hedef değildir. Eşlik, hedefe ulaşmak için kurduğun ara basamaktır.

İki üçgenin eşliği kanıtlandıktan sonra şu ilkeyi kullanırız:

Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları ve açıları eştir.

İngilizce kaynaklarda bunun kısaltması CPCTC olarak geçer. Mantığı şudur: Üçgenler tam olarak çakışıyorsa, karşılık gelen herhangi bir parçasının farklı olması mümkün değildir.

Bu sırayı koru:

1. Önce gerekli kenar ve açı eşitliklerini göster.
2. Uygun bir eşlik ölçütüyle üçgenlerin eş olduğunu yaz.
3. Üçgen adlarındaki harf sırasından karşılıkları belirle.
4. Ancak şimdi hedefteki açı veya kenar eşitliğini çıkar.

Aşağıdaki kısa bölüm bu son adımı, yani eşlikten hedef açıya geçmeyi netleştirir.

---

Olimpiyat tarzı temel lemma: ikizkenar üçgende orta doğru

Şimdi eşliğin bir ara sonucu nasıl ürettiğini tam bir ispatla görelim.

Verilen: $△ABC$ ikizkenardır:

$$AB\cong AC.$$

$D$, $BC$’nin orta noktası olsun. Yani

$$BD\cong DC.$$

Hedef: $AD$, $\angle BAC$’ın açıortayıdır; başka deyişle

$$\angle BAD\cong \angle DAC.$$

Burada hedef doğrudan iki açı arasında bir eşitliktir. Ama başlangıçta bu açıların eş olduğuna dair yeterli neden yoktur. Bu yüzden $AD$’nin oluşturduğu iki üçgene bakarız:

$$△ABD\text{ve}△ACD.$$

İspatı gerekçeli biçimde yazalım:

Adım	İfade	Gerekçe
1	$AB\cong AC$	Verilen: $ABC$ ikizkenar
2	$BD\cong DC$	$D$, $BC$’nin orta noktası
3	$AD\cong AD$	Yansıma özelliği
4	$△ABD\cong △ACD$	SSS
5	$\angle BAD\cong \angle DAC$	Eş üçgenlerin karşılıklı açıları eştir

Buradaki üçgen eşliği şu eşleşmeye dayanır:

$$A\leftrightarrow A,B\leftrightarrow C,D\leftrightarrow D.$$

Bu nedenle $\angle BAD$’nin karşısında $\angle DAC$ bulunur.

Bu küçük ispat çok değerlidir. Çünkü yalnızca açıortay sonucunu vermez; aynı eşlikten şunları da çıkarabiliriz:

$$\angle ABD\cong \angle ACD$$

ve

$$\angle ADB\cong \angle ADC.$$

İlk eşitlikte $B,D,C$ doğrusal olduğundan,

$$\angle ABD=\angle ABC,\angle ACD=\angle ACB$$

olur. Böylece ikizkenar üçgenin taban açıları için

$$\angle ABC\cong \angle ACB$$

sonucuna da ulaşırız.

Tek bir eşlik ispatı, şeklin içinde birden fazla kullanışlı sonuç üretmiştir. Olimpiyat geometrisinde amaç çoğu zaman budur: Hedefe doğrudan saldırmak yerine, sonraki adımları açacak güçlü bir ara sonuç elde etmek.

Khan Academy’nin ispatı da aynı ana fikri kullanır: ikizkenar üçgenin tabanına bir orta nokta eklenir, iki küçük üçgen SSS ile eşlenir, sonra taban açıları karşılaştırılır.

---

Daha geniş bir şekil içinde eşlik: paralellik için ara sonuç

Şimdi eşliğin yalnız bir üçgenin içinde değil, dörtgen yapısında nasıl çalıştığını görelim.

$ABCD$ dışbükey bir dörtgen olsun. Köşegenler $AC$ ile $BD$, $O$ noktasında kesişsin. Ayrıca $O$, hem $AC$’nin hem de $BD$’nin orta noktası olsun:

$$AO\cong OC,BO\cong OD.$$

İlk ara hedefimiz şudur:

$$AB\parallel CD.$$

Bu paralellik başlangıçta verilmiş değildir. Önce şu iki üçgeni eşlemeyi deneyelim:

$$△AOB\text{ve}△COD.$$

Elimizde iki kenar eşitliği vardır:

$$AO\cong OC,BO\cong OD.$$

Ayrıca $\angle AOB$ ile $\angle COD$ ters açıdır; dolayısıyla

$$\angle AOB\cong \angle COD.$$

Bu açı, iki eş kenarın arasında bulunduğu için SAS kullanabiliriz:

$$△AOB\cong △COD.$$

Harf sırasından eşleşme şöyledir:

$$A\leftrightarrow C,O\leftrightarrow O,B\leftrightarrow D.$$

Bu kez eşlikten doğrudan hedefimiz olan paralelliği değil, önce gerekli açı eşitliğini alırız:

$$\angle ABO\cong \angle CDO.$$

$B,O,D$ aynı doğru üzerinde olduğundan bu iki açı, $BD$ kesenine göre $AB$ ve $CD$ doğrularının iç ters açılarıdır. İç ters açılar eş olduğuna göre

$$AB\parallel CD.$$

Bu çözümün yapısı önemlidir:

• Eşliğin sonucu: $\angle ABO\cong \angle CDO$
• Bu açısal ara sonucun sonucu: $AB\parallel CD$

Yani “üçgenleri eşlemek”, bir sonuca ulaşmanın doğrudan değil ama güçlü bir yoludur. Bir olimpiyat ispatında eşliği gördüğünde kendine şu soruyu sor:

Eşlikten sonra hangi karşılıklı kenar veya açı, sorunun hedefini mümkün kılar?

---

Eşlik kullanmadan önce kontrol listesi

Bir şekil karmaşık göründüğünde, aşağıdaki kısa düzeni uygula:

1. Hedefi belirle. Eş bir açı mı, eş bir kenar mı, açıortay mı, paralellik mi gerekiyor?
2. Bu hedefe uygun iki üçgen ara. Bazen yardımcı doğru, bazen bir köşegen, bazen de ortak kenar onları görünür yapar.
3. Üç bilgi topla. Verilenleri, ortak kenarları, ters açıları, orta nokta veya açıortay sonuçlarını işaretle.
4. Doğru ölçütü seç. Özellikle SAS’taki açının aradaki açı olduğunu denetle.
5. Üçgenleri doğru sırayla yaz. Harf eşleşmesi açık olmalı.
6. Eşlikten sonra yalnız gereken sonucu çıkar. Her karşılıklı elemanı yazmak yerine, hedefe hizmet eden açı ya da kenarı seç.

Şu iki yazım arasındaki farkı da koru:

• “$△ABD\cong △ACD$, SSS’den.” Bu, eşlik sonucudur.
• “$\angle BAD\cong \angle DAC$, eş üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan.” Bu, eşliğin sonucunun kullanımıdır.

İkinci satırın gerekçesi “SSS” değildir. SSS yalnızca üçgenleri eş yapar; açı eşitliği ise o eşliğin sonucudur.

---

Bu derste üçgen eşliğini bir hedef değil, ispat içinde ara sonuç üreten bir araç olarak ele aldık.

• SSS, SAS, ASA, AAS ve dik üçgenlerde RHS/HK geçerli eşlik ölçütleridir.
• SSA ve AAA genel olarak eşlik için yeterli değildir.
• Ortak kenar, orta nokta, ters açı, açıortay ve diklik; eşlik için eksik bilgiyi sıkça sağlar.
• Üçgenleri yazarken harf sırası karşılıkları belirler.
• Eşlik kanıtlandıktan sonra karşılıklı açı ve kenar eşitlikleri kullanılır.
• İkizkenar üçgenin tabanına çizilen orta doğru örneğinde, SSS eşliği açıortay sonucunu verir.
• Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgende, SAS eşliği paralelliği kanıtlamak için gereken açı eşitliğini üretir.

Sonraki derste üçgen benzerliğine geçeceğiz. Eşlikte bütün uzunluklar aynıyken, benzerlikte karşılıklı uzunlukların oranları korunur; bu da olimpiyat sorularında uzunluk ve oran bulmak için temel araçlardan biridir.