Teoremlerde Karşıt ve Ters İfadeleri Ayırt Etme

Selam! Önceki derste bir geometrik ispatı verilenler, hedef ve gerekçeli adımlar olarak yazmayı; şeklin yalnızca ipucu olduğunu, doğrudan kanıt olmadığını gördük. Bu ders o ispat dilinin mantıksal yönünü kuruyor: Bir teoremi hangi yönde kullanabileceğini, ne zaman tersine çeviremeyeceğini ve hangi durumda karşıt tersini güvenle kullanabileceğini öğreneceksin.

Olimpiyat çözümlerinde çok sık şu hata yapılır: Bir teorem “$P$ ise $Q$” diyorken, çözücü fark etmeden “$Q$ ise $P$” sonucunu kullanır. Bu dersin sonunda böyle bir geçişin geçerli mi, ek bir teorem mi gerektiriyor, yoksa tamamen yanlış mı olduğunu hızlıca ayırt edebileceksin.

---

Koşullu önerme: teoremin yönü vardır

Birçok geometri teoremi aslında koşullu bir önermedir:

$$P\Rightarrow Q$$

Bu ifade “$P$ doğruysa, $Q$ doğrudur” demektir.

• $P$: hipotez ya da koşul
• $Q$: sonuç

Örneğin ikizkenar üçgen teoreminin bir yönü şöyledir:

Eğer $△ABC$ içinde $\overline{AB}\cong \overline{AC}$ ise,
$\angle ABC\cong \angle BCA$.

Burada

$$P:\overline{AB}\cong \overline{AC}$$

ve

$$Q:\angle ABC\cong \angle BCA$$

olur.

Bu teorem sana şunu kullanma hakkı verir: eş kenarları biliyorsan taban açılarının eş olduğunu çıkarabilirsin. Mantıksal olarak, $P$ bilgisi $Q$ sonucuna yeterlidir.

Fakat bu teorem tek başına, taban açıları eş olduğunda kenarların da eş olacağını söylemez. O ifade teoremin tersidir ve ayrıca doğru olup olmadığı incelenmelidir.

Bu temel dili kısa bir tekrar için aşağıdaki videodan izle.

---

Ters, karşıt ve karşıt tersi

Başlangıç önermemiz

$$P\Rightarrow Q$$

olsun. Bundan üç yeni önerme oluşturabiliriz.

Önerme	Sembolik biçim	Nasıl oluşturulur?
Asıl koşullu önerme	$P\Rightarrow Q$	Başlangıç teoremi
Ters	$Q\Rightarrow P$	Koşul ve sonuç yer değiştirir
Karşıt	$\neg P\Rightarrow \neg Q$	Koşul ve sonuç yerinde kalır; ikisi de olumsuzlanır
Karşıt ters	$\neg Q\Rightarrow \neg P$	Koşul ve sonuç yer değiştirir; ikisi de olumsuzlanır

Buradaki $\neg P$, “$P$ değil” anlamına gelir.

İkizkenar üçgen örneğine dört biçimiyle bakalım:

Tür	Geometrik ifade
Asıl önerme	Eğer $\overline{AB}\cong \overline{AC}$ ise $\angle ABC\cong \angle BCA$.
Ters	Eğer $\angle ABC\cong \angle BCA$ ise $\overline{AB}\cong \overline{AC}$.
Karşıt	Eğer $\overline{AB}\ncong \overline{AC}$ ise $\angle ABC\ncong \angle BCA$.
Karşıt ters	Eğer $\angle ABC\ncong \angle BCA$ ise $\overline{AB}\ncong \overline{AC}$.

İsimleri karıştırmamak için iki işlem düşün:

1. Yer değiştir: Tersi oluşturur.
2. Olumsuzla: Karşıtı oluşturur.

Bu iki işlemi birlikte yaparsan karşıt ters elde edilir. Sıralamanın önemi yoktur; önce yer değiştirip sonra olumsuzlamakla, önce olumsuzlayıp sonra yer değiştirmek aynı ifadeyi verir.

Özellikle şu ayrımı net tut:

• Karşıt, yalnızca iki kısmı olumsuzlar.
• Karşıt ters, hem olumsuzlar hem de yerlerini değiştirir.

Olimpiyat ispatlarında güvenilir olan dönüşüm karşıt terstir; yalnızca “karşıt” değildir.

---

Hangi geçişler güvenlidir?

Bir teoremin doğru olduğunu biliyorsan,

$$P\Rightarrow Q$$

ile

$$\neg Q\Rightarrow \neg P$$

mantıksal olarak eşdeğerdir. Yani asıl önerme doğruysa karşıt tersi de kesin olarak doğrudur; asıl önerme yanlışsa karşıt tersi de yanlıştır.

Bunun nedeni basittir. $P\Rightarrow Q$ teoremi, şu durumu yasaklar:

$$P\text{ dog˘ru, fakat }Q\text{ yanlıs¸}$$

Eğer $Q$ yanlış olsaydı, $P$ doğru olamazdı. O hâlde $P$ de yanlış olmalıdır. Bu tam olarak karşıt tersin söylediği şeydir.

Buna karşılık asıl önerme tek başına tersini garanti etmez:

$$P\Rightarrow Q\text{dog˘ru iken}Q\Rightarrow P\text{yanlıs¸ olabilir.}$$

Aynı biçimde, asıl önerme doğru diye karşıtı da otomatik doğru olmaz:

$$\neg P\Rightarrow \neg Q$$

ayrıca incelenmelidir.

İki güvenilir eşdeğerlik çifti vardır:

Bir önerme	Mantıksal olarak eşdeğer olduğu önerme
$P\Rightarrow Q$	$\neg Q\Rightarrow \neg P$
$Q\Rightarrow P$	$\neg P\Rightarrow \neg Q$

Dolayısıyla ters ve karşıt da birbirine eşdeğerdir. Ancak bu, onların asıl teoremden otomatik olarak doğru çıktığı anlamına gelmez.

Bu ilişkileri daha düzenli biçimde görmek için CK-12 özetini kullan.

---

Bir geometri teoremini kullanma izni

Bir ispatta elinde yalnızca

$$P\Rightarrow Q$$

teoremi varsa, aşağıdaki iki kullanım geçerlidir:

Elindeki bilgi	Çıkarabileceğin sonuç	Gerekçe
$P$	$Q$	Teoremin doğrudan kullanımı
$\neg Q$	$\neg P$	Teoremin karşıt tersi

Buna karşılık aşağıdaki geçişleri, ters veya karşıt ayrıca kanıtlanmadıkça yapamazsın:

Hatalı olabilecek geçiş	Neden?
$Q$ bilgisinden $P$ sonucuna geçmek	Bu, teoremin tersini kullanmaktır.
$\neg P$ bilgisinden $\neg Q$ sonucuna geçmek	Bu, teoremin karşıtını kullanmaktır.

Bunu bir “izin kontrolü” olarak düşün:

1. Kullanacağın teoremi $P\Rightarrow Q$ biçimine çevir.
2. Şu anda bildiğin şeyin $P$, $Q$, $\neg P$ veya $\neg Q$ hangisi olduğunu belirle.
3. Hedefin hangi biçimde olduğuna bak.
4. Geçişin doğrudan teorem mi, karşıt ters mi, yoksa ayrıca kanıtlanması gereken ters mi olduğunu yaz.

Bu kontrol özellikle kısa olimpiyat çözümlerinde önemlidir. Bir satırdaki mantık hatası, çözümün geri kalanı doğru görünse bile ispatı geçersiz yapar.

---

Kare örneği: ters neden tehlikelidir?

Şu doğru teoremi ele alalım:

Eğer bir dörtgen kare ise, dört açısı da dik açıdır.

Bunu sembolik olarak yazalım:

$$P:\text{Do¨rtgen karedir}$$ $$Q:\text{Do¨rtgenin do¨rt ac¸ısı da diktir}$$

Asıl önerme doğrudur:

$$P\Rightarrow Q$$

Şimdi varyasyonları inceleyelim.

Ters

Eğer bir dörtgenin dört açısı dikse, o dörtgen karedir.

Bu önerme yanlıştır. Kare olmayan herhangi bir dikdörtgen dört dik açıya sahiptir. Örneğin kenar uzunlukları farklı bir dikdörtgen, $Q$ koşulunu sağlar ama $P$ koşulunu sağlamaz.

Bu örnek, ters önermeye karşı örnektir.

Karşıt

Eğer bir dörtgen kare değilse, dört açısı da dik değildir.

Bu da yanlıştır. Aynı dikdörtgen yine karşı örnektir: kare değildir ama dört açısı diktir.

Karşıt ters

Eğer bir dörtgenin dört açısı dik değilse, o dörtgen kare değildir.

Bu önerme doğrudur. Çünkü kare olsaydı dört açısının dik olması zorunlu olurdu. Dört dik açının bulunmadığını biliyorsak, şeklin kare olamayacağını kesin biçimde söyleyebiliriz.

Burada önemli bir karşı örnek yöntemi de ortaya çıkıyor. Bir teoremin tersi yanlışsa, çoğu zaman aynı şekil karşıtını da çürütür:

• Tersi çürütmek için $Q$ doğru, $P$ yanlış bir şekil aranır.
• Karşıtı çürütmek için $\neg P$ doğru, $\neg Q$ yanlış bir şekil aranır.
• $\neg Q$ yanlış demek $Q$ doğru demektir; yani yine $Q$ doğru ve $P$ yanlış bir şekil gerekir.

---

İkizkenar üçgende iki yönün de geçerli olması

Bazı geometri sonuçlarında hem asıl teorem hem de tersi doğrudur. Bu durumda iki ayrı teorem vardır ve birlikte “ancak ve ancak” diye ifade edilebilir.

$△ABC$ için şu iki teorem geçerlidir:

1. Eğer

$$\overline{AB}\cong \overline{AC}$$

ise,

$$\angle ABC\cong \angle BCA.$$

2. Eğer

$$\angle ABC\cong \angle BCA$$

ise,

$$\overline{AB}\cong \overline{AC}.$$

İlk önerme ikizkenar üçgen teoremidir. İkinci önerme onun tersidir ve ayrıca doğru bir teoremdir: Bir üçgende eş açıların karşısındaki kenarlar eştir.

Bunları birleştirerek şunu yazabiliriz:

Bir üçgen, ancak ve ancak iki kenarı eş olduğunda bu kenarların karşısındaki açıları eş olur.

Buna çift yönlü önerme denir. Sembolik biçimi:

$$\overline{AB}\cong \overline{AC}⟺\angle ABC\cong \angle BCA$$

olur.

Fakat “ancak ve ancak” ifadesini gelişigüzel kullanma. Bir iddiayı çift yönlü yazmak için hem ileri yönün hem ters yönün kanıtlanmış olması gerekir.

---

Olimpiyat ispatında karşıt tersin kullanımı

Karşıt ters, özellikle “bir şeyin olmadığını” göstermek istediğinde etkilidir.

Örnek: $△ABC$ içinde

$$\angle ABC\ncong \angle BCA$$

olsun. Kanıtla:

$$\overline{AB}\ncong \overline{AC}.$$

İkizkenar üçgen teoremini hatırla:

$$\overline{AB}\cong \overline{AC}\Rightarrow \angle ABC\cong \angle BCA.$$

Bu teoremin karşıt tersi şudur:

$$\angle ABC\ncong \angle BCA\Rightarrow \overline{AB}\ncong \overline{AC}.$$

Verilen bilgi, karşıt tersin koşuluyla tam olarak aynıdır. O hâlde hedef doğrudan çıkar.

Paragraf ispatı şöyle yazılabilir:

Varsayalım ki $\overline{AB}\cong \overline{AC}$ olsun. İkizkenar üçgen teoremine göre $\angle ABC\cong \angle BCA$ elde edilir. Bu, verilen $\angle ABC\ncong \angle BCA$ bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla $\overline{AB}\ncong \overline{AC}$ olmalıdır.

Bu çözümde çelişki yöntemi kullanılmış gibi görünse de temel mantık karşıt terstir. Eş olmayan taban açıları, eş kenarların bulunamayacağını zorunlu kılar.

Aynı teoremi ters yönde kullanmak istersen farklı bir gerekçe gerekir. Örneğin taban açıları eşken kenarların eş olduğunu söylemek için yalnızca “ikizkenar üçgen teoremi” yazmak yeterli değildir. Gerekçe olarak açıkça şu teoremi kullanmalısın:

Bir üçgende eş açıların karşısındaki kenarlar eştir.

Bu küçük gerekçe farkı, ispatın mantıksal olarak tamam olup olmadığını belirler.

---

Hızlı yazım ve denetim rutini

Bir teoremi kullanmadan önce zihninden şu kısa kontrolü geçir:

Kontrol	Örnek
Asıl teorem nedir?	Eş kenarlar ise eş taban açıları
$P$ nedir?	$\overline{AB}\cong \overline{AC}$
$Q$ nedir?	$\angle ABC\cong \angle BCA$
Elimde hangi bilgi var?	Eş kenarlar mı, eş açılar mı; yoksa bunların olumsuzu mu?
Geçerli yol nedir?	Doğrudan teorem mi, karşıt ters mi, ayrıca bilinen ters teorem mi?

Özellikle şu iki cümleyi ispatlarında otomatik olarak ayırt edebilmelisin:

• “Eş kenarlardan eş açıları elde ederiz.” Bu, teoremin doğrudan kullanımıdır.
• “Eş olmayan açılardan eş olmayan kenarları elde ederiz.” Bu, teoremin karşıt tersidir.

Buna karşılık:

• “Eş açılardan eş kenarları elde ederiz.” Bu, ters teoremdir; doğru olabilir, fakat ayrıca bilinen veya kanıtlanmış olmalıdır.

---

Bu dersin ana sonuçları şunlardır:

• Bir teorem $P\Rightarrow Q$ biçiminde belirli bir yönde çalışır.
• Ters, $Q\Rightarrow P$; karşıt, $\neg P\Rightarrow \neg Q$; karşıt ters ise $\neg Q\Rightarrow \neg P$ biçimindedir.
• Asıl teorem ile karşıt tersi her zaman mantıksal olarak eşdeğerdir.
• Ters ve karşıt birbirine eşdeğerdir; ama asıl teorem doğru diye otomatik olarak doğru olmazlar.
• Bir geometri ispatında ters yönü kullanmak istiyorsan, tersin ayrıca kanıtlanmış bir teorem veya tanım olup olmadığını belirtmelisin.

Sonraki derste bu mantık disiplinini üçgen eşliğine taşıyacağız. Kenar-Kenar-Kenar, Kenar-Açı-Kenar ve Açı-Kenar-Açı ölçütlerini kullanarak bir olimpiyat ispatındaki ara sonucu nasıl güvenli biçimde kuracağını inceleyeceğiz.