Dış Açı ve Doğrusal Açı İlişkisi

Merhaba! Önceki derste eş uzunluk taşıyarak ikizkenar ve eşkenar üçgenler üretmiştik. Bu derste yardımcı çizim fikrinin daha kısa ama çok sık kullanılan bir türüne geçiyoruz: bir kenarı uzatmak.

Bir üçgenin kenarını uzatmak yeni bir uzunluk üretmez; fakat içeride kapalı kalan açı ilişkilerini şeklin dışına taşır. Özellikle bir iç açı ile komşu dış açının $180^{\circ }$ oluşturduğunu ve dış açının öteki iki iç açının toplamına eşit olduğunu görünür hâle getirir. Olimpiyat çözümlerinde bu, “gizli” bir açıyı hesaplamanın ya da iki ayrı üçgeni birbirine bağlamanın hızlı yollarından biridir.

---

Kenarı uzatmak ne demektir?

$△ABC$ düşünelim. $BC$ kenarını $C$ yönünde uzatıp $C$'nin ötesinde bir $D$ noktası alalım. Başka bir deyişle $B,C,D$ doğrusal ve $C$, $B$ ile $D$ arasındadır.

Bu durumda $\angle ACB$, üçgenin $C$ köşesindeki iç açıdır. Yeni oluşan $\angle ACD$ ise dış açıdır.

Buradaki temel ilişki şudur:

$$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }.$$

Bunun sebebi, $CB$ ve $CD$ ışınlarının zıt yönlü olmasıdır. Ortak kenarları $CA$ olan bu iki açıya doğrusal çift denir.

Bir kenarı uzatırken yalnızca “üç nokta doğrusal” demek bazen yetersizdir. Noktaların sırası önemlidir. Dış açı oluşturmak için $C$'nin, $B$ ile yeni nokta $D$ arasında olduğunu açıkça belirtmelisin.

Örneğin ispatta şu ifade düzgündür:

$BC$ kenarı $C$ yönünde uzatılsın ve $B,C,D$ doğrusal olacak biçimde $D$ noktası alınsın.

Bu tanımın hemen ardından yazılabilecek sağlam bir sonuç vardır:

$$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }\text{(dog˘rusal c¸ift).}$$

---

Dış Açı Teoremi

Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:

$$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.$$

Burada:

• $\angle ACB$, dış açıya komşu iç açıdır.
• $\angle CAB$ ve $\angle ABC$, dış açıya komşu olmayan, yani uzak iç açılardır.

Bu isimlendirme önemlidir. Dış açı teoreminde dış açıyı, komşu iç açıyla değil, öteki iki açıyla ilişkilendirirsin.

Aşağıdaki kısa videoda Erol Dönmez Geometri'nin İspatlarla Geometri-1 (Üçgende Açılar) anlatımını izle. İlk parça, birazdan kullanacağımız iç açı toplamının paralel doğruyla ispatını hatırlatır; ikinci parça dış açı teoremini aynı yardımcı doğru fikriyle kurar.

---

Teoremin kısa ve sağlam ispatı

Dış açı teoremini, zaten bildiğin iki temel ilişkiden çıkarabiliriz.

$BC$ kenarını $C$ yönünde uzatıp $D$ noktasını alalım.

Üçgenin iç açıları toplamından:

$$\angle CAB+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }.$$

Doğrusal çiftten ise:

$$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }.$$

Her iki toplam da $180^{\circ }$ olduğuna göre:

$$\angle ACB+\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC+\angle ACB.$$

Her iki taraftan $\angle ACB$ çıkarılırsa:

$$\boxed{\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.}$$

Bu ispatın olimpiyat açısından güçlü yanı şudur: Bir dış açıyı gördüğünde, onu iki farklı biçimde yazabilirsin.

Elindeki bilgi	Yararlı ilişki
Komşu iç açı biliniyor	$\angle ACD=180^{\circ }-\angle ACB$
Uzak iki iç açı biliniyor	$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC$
Dış açı biliniyor	Uzak iki iç açının toplamı bulunur
Bir dış açı başka üçgenin iç açısıysa	İki farklı üçgen arasında açı bağı kurulabilir

Dış açı teoremi ayrıca şu karşılaştırmayı da verir:

$$\angle ACD>\angle CAB,\angle ACD>\angle ABC.$$

Çünkü dış açı, her biri pozitif olan iki uzak iç açının toplamıdır. Bu eşitsizlik, özellikle “hangi açı daha büyüktür?” türü ispatlarda işe yarar.

---

Paralel yardımcı doğruyla ikinci bakış

Önceki derste paralel doğru çizerek açı ve oran ilişkilerini görünür kılmıştın. Dış açı teoreminin klasik ispatında da aynı refleks kullanılabilir.

Şekilde $CE\parallel AB$ çizilmiş olsun. Paralellikten:

$$\angle ACE=\angle CAB$$

ve

$$\angle ECD=\angle ABC.$$

Öte yandan $CE$ ışını dış açının içinde kaldığı için:

$$\angle ACD=\angle ACE+\angle ECD.$$

Bu üç ilişki birlikte yine şunu verir:

$$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.$$

Bu ikinci ispatı her soruda çizmek gerekmez. Teoremi artık doğrudan kullanabilirsin. Fakat bir soruda paralel doğrular zaten verilmişse veya dış açıyı iki tanıdık açıya bölmek istiyorsan, bu yapı iyi bir ipucudur.

---

Uzatma yapınca hangi açının hangi üçgene ait olduğunu kontrol et

Kenar uzatmalarında en yaygın hata, bir açıyı yanlış üçgene ait sanmaktır. Bu nedenle her açı için şu üç soruyu sor:

1. Açının köşesi hangi noktadır?
2. Açının iki ışını hangileridir?
3. Bu ışınlar, hangi üçgenin kenarları veya uzantılarıdır?

Örneğin $B,C,D$ doğrusal ve $C$, $B$ ile $D$ arasında olsun.

• $\angle ACB$, $△ABC$'nin iç açısıdır.
• $\angle ACD$, $△ABC$'nin $C$ köşesindeki dış açısıdır.
• $\angle BCD$ düz açıdır:

$$\angle BCD=180^{\circ }.$$

Fakat $D,B,C$ doğrusal ve $B$, $D$ ile $C$ arasında olsaydı, dış açı artık $B$ köşesinde oluşurdu. Bu kez:

$$\angle ABD+\angle ABC=180^{\circ }.$$

Yani “hangi kenarı hangi yönde uzattığın”, kullanacağın doğrusal çifti belirler.

---

Hızlı açı hesabı: iki yolun aynı sonucu vermesi

$△ABC$'de

$$\angle CAB=52^{\circ },\angle ABC=63^{\circ }$$

olsun. $BC$ kenarı $C$ yönünde uzatılarak $D$ alınsın.

Dış açı teoreminden:

$$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC=52^{\circ }+63^{\circ }=115^{\circ }.$$

Komşu iç açıyı da bulabiliriz:

$$\angle ACB=180^{\circ }-52^{\circ }-63^{\circ }=65^{\circ }.$$

Sonra doğrusal çifti kullanırsak:

$$\angle ACD=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }.$$

İki yöntemin aynı cevabı vermesi tesadüf değildir; dış açı teoremi zaten bu iki temel toplam ilişkisinin sonucudur.

Bir olimpiyat sorusunda uzak iç açıları görüyorsan, genellikle doğrudan dış açı teoremi daha hızlıdır. Komşu iç açı kolayca bulunuyorsa doğrusal çift daha doğal olabilir.

---

İki üçgeni bağlayan uzatma: ispatlı örnek

Şimdi uzatmanın yalnızca tek bir üçgende açı bulmak için değil, farklı üçgenler arasında bağ kurmak için nasıl kullanıldığını görelim.

Verilenler:

• $AB=AC$,
• $D,B,C$ doğrusal ve $B$, $D$ ile $C$ arasındadır,
• $\angle BAD=20^{\circ }$,
• $\angle ADC=30^{\circ }$.

Hedef:

$$\angle BAC$$

açısını bulmak.

1. $D$ köşesindeki açıyı doğru üçgene taşı

$D,B,C$ doğrusal olduğundan, $DB$ ve $DC$ aynı ışındır. Bu nedenle:

$$\angle ADB=\angle ADC=30^{\circ }.$$

Artık $△ABD$'de iki açıyı biliyoruz:

$$\angle BAD=20^{\circ },\angle ADB=30^{\circ }.$$

Üçgenin iç açıları toplamından:

$$\angle ABD=180^{\circ }-20^{\circ }-30^{\circ }=130^{\circ }.$$

2. $B$ köşesindeki doğrusal çifti kullan

$BD$ ve $BC$ zıt yönlü ışınlardır. Bu yüzden:

$$\angle ABD+\angle ABC=180^{\circ }.$$

Dolayısıyla:

$$\angle ABC=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }.$$

3. İkizkenar üçgene dön

$AB=AC$ olduğundan, $△ABC$'nin taban açıları eşittir:

$$\angle ABC=\angle BCA=50^{\circ }.$$

Şimdi dış açı $\angle ABD$'yi $△ABC$ açısından okuyabiliriz. Bu açı, $B$ köşesindeki dış açıdır. Dış açı teoremine göre:

$$\angle ABD=\angle BAC+\angle BCA.$$

Bildiğimiz değerleri yerleştirelim:

$$130^{\circ }=\angle BAC+50^{\circ }.$$

Böylece:

$$\boxed{\angle BAC=80^{\circ }.}$$

Bu çözümde uzatma, iki önemli iş yaptı:

• $△ABD$'de bulunan $130^{\circ }$'lik açıyı $△ABC$'nin dış açısı hâline getirdi.
• Doğrusal çift sayesinde $130^{\circ }$'lik açıdan, ikizkenar üçgenin taban açısı olan $50^{\circ }$'ye geçiş sağladı.

---

Olimpiyat çözümünde yazım düzeni

Bir kenar uzatmasını içeren çözümünü şu sırayla yazmak, gerekçe boşluklarını azaltır:

1. İnşayı veya doğrusal sıralamayı belirt.
   “$BC$ kenarı $C$ yönünde uzatılsın; $B,C,D$ doğrusal olsun.”

2. Doğrusal çifti açıkça yaz.

   $$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }.$$

3. Gerekirse dış açı teoremini, hangi üçgen için kullandığını belirterek yaz.

   $$△ABC\text{ ic¸in }\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.$$

4. Açıların yerini kontrol et.
   Özellikle $D,B,C$ doğrusal olduğunda, $DB$ ve $DC$'nin aynı mı, zıt mı yönlü ışınlar olduğunu kontrol et.

Şu cümle eksiktir:

“Dış açıdan $x$ bulunur.”

Bunun yerine gerekçeyi görünür kıl:

$△ABC$'de dış açı teoremine göre $\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC$ olur.

---

Sık yapılan hatalar

Komşu açıyı yanlışlıkla toplama katmak

Yanlış kullanım:

$$\angle ACD=\angle ACB+\angle CAB.$$

Doğrusu:

$$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.$$

$\angle ACB$, dış açıyla doğrusal çift oluşturan komşu iç açıdır; uzak iç açılardan biri değildir.

Doğrusal açı ile dış açıyı karıştırmak

$\angle BCD$ doğrusal açı olduğundan:

$$\angle BCD=180^{\circ }.$$

Fakat $\angle ACD$ genellikle $180^{\circ }$ değildir; dış açıdır. Yalnızca $\angle ACB$ ile birlikte $180^{\circ }$ eder.

Noktaların sırasını yazmamak

“$B,C,D$ doğrusaldır” bilgisi tek başına hangi ışınların zıt yönlü olduğunu her zaman açık etmeyebilir. İspat sırasında gerekiyorsa şunu ekle:

$C$, $B$ ile $D$ arasındadır.

Böylece $\overrightarrow{CB}$ ve $\overrightarrow{CD}$'nin zıt yönlü olduğu kesinleşir.

---

Bu derste bir kenarı uzatmanın üçgenin dışındaki açıyı görünür kıldığını gördük. Temel araçların şunlar:

$$\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }$$

ve

$$\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC.$$

Bir soruda uzatılmış kenar, doğrusal üç nokta veya büyük görünen bir açı fark ettiğinde önce bunun bir dış açı olup olmadığını kontrol et. Ardından açıyı ya komşu iç açıyla $180^{\circ }$'ye tamamla ya da uzak iki iç açının toplamı olarak yaz.

Sonraki derste, bu modülün araçlarını bir araya getirerek yardımcı çizim gerektiren seçilmiş bir olimpiyat sorusunu eksiksiz ve gerekçeli biçimde çözeceğiz.