Yardımcı Çizimle Olimpiyat Sorusu Çözümü

Merhaba! Önceki derslerde yardımcı çizimlerin tek tek işlevlerini gördün: paralel çizerek benzerlik oluşturmak, eş uzunluk taşıyarak ikizkenar üçgen üretmek ve kenar uzatmasıyla dış açıları kullanmak. Bu ders, ilk modülün uygulama dersi: bu araçlardan hangisinin gerekli olduğunu bir yarışma sorusunun verilerinden anlayacak ve çözümü gerekçeli, eksiksiz bir ispat olarak yazacaksın.

Ele alacağımız soruda belirleyici fikir, orta noktanın verdiği eşitliği alıp bir kenar üzerinde yeniden üretmektir. Çizim ilk bakışta “akla nereden geldi?” gibi görünür; amacımız onu ezberlemek değil, neden doğal bir seçim olduğunu görmek.

---

Seçilmiş problem

$△ABC$'de $D$, $BC$'nin orta noktasıdır. Ayrıca

$$\angle ACD=30^{\circ },\angle ADB=45^{\circ }.$$

Buna göre

$$\angle DAB$$

kaç derecedir?

$D$, $BC$ üzerinde olduğundan $\angle ACD$, üçgenin $C$ köşesindeki açıdır. $B,D,C$ doğrusal ve $D$, $B$ ile $C$ arasındadır.

İlk bakışta elde ettiğimiz bilgiler şunlardır:

$$BD=DC$$

çünkü $D$, $BC$'nin orta noktasıdır. Ayrıca $D$'deki $45^{\circ }$ açı, $△ACD$ için bir dış açıdır.

Bu ikinci gözlem hemen bir açı verir:

$$\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD.$$

Dolayısıyla

$$45^{\circ }=\angle DAC+30^{\circ },$$

buradan da

$$\angle DAC=15^{\circ }$$

bulunur.

Fakat hedefimiz $\angle DAB$ olduğundan yalnızca $\angle DAC$'ı bilmek yetmez. Önce $\angle BAC$'ı bulmamız gerekir.

---

Yardımcı çizimi seçmek: Neyi üretmeye çalışıyoruz?

Verilen orta nokta bilgisi bize

$$BD=DC$$

eşitliğini veriyor. Eşit iki doğru parçası görünce şu refleks yararlıdır:

Bu uzunluklardan birini, başka bir noktadan başlayarak taşırsam ikizkenar üçgen oluşturabilir miyim?

$AC$ üzerinde, $C$'den farklı bir $E$ noktası seçelim ve

$$DE=DC$$

olsun. Başka bir deyişle, merkezi $D$, yarıçapı $DC$ olan çemberin $AC$ ile $C$'den farklı kesişim noktasını $E$ alıyoruz.

Bu inşa iki eşitliği aynı anda bir araya getirir:

$$BD=DC=DE.$$

Özellikle $△EDC$ ikizkenardır. Üstelik $E$, $AC$ üzerinde olduğu için

$$\angle ECD=\angle ACD=30^{\circ }.$$

İkizkenar üçgende taban açıları eşit olduğundan

$$\angle DEC=30^{\circ }.$$

Böylece

$$\angle EDC=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }.$$

Şimdi önceki dersteki dış açı ve doğrusal açı bilgisini kullanacağız. $B,D,C$ doğrusal olduğundan $DB$ ve $DC$ zıt yönlü ışınlardır. Bu nedenle:

$$\angle EDB+\angle EDC=180^{\circ }.$$

Dolayısıyla

$$\angle EDB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Bu aşamada üçgen $BDE$'ye bakalım. Orta nokta ve yardımcı çizim sayesinde:

$$BD=DE$$

ve aralarındaki açı da $60^{\circ }$'dir. İkizkenar üçgenin tepe açısı $60^{\circ }$ ise diğer iki açı da $60^{\circ }$ olur. Yani:

$$△BDE$$

eşkenar üçgendir. Sonuç olarak:

$$BD=DE=EB.$$

Yardımcı noktanın gerçek gücü şimdi ortaya çıktı: Başlangıçta yalnızca $BD=DC$ bilgisi varken, artık $EB$ ile ilişkilendirilebilecek yeni bir eşit uzunluk elde ettik.

---

Çözümün açı iskeleti

Daha önce bulduğumuz dış açı ilişkisini yeniden yazalım:

$$\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD.$$

Buradan:

$$\angle DAC=15^{\circ }.$$

Öte yandan,

$$\angle EDB=60^{\circ }$$

ve

$$\angle ADB=45^{\circ }.$$

Şekilde $DA$ ışını, $\angle EDB$'nin içinde kaldığından:

$$\angle EDA=\angle EDB-\angle ADB=60^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }.$$

Artık $△AED$'de iki açı eşit:

$$\angle EDA=\angle DAE=15^{\circ }.$$

Burada $E$, $AC$ üzerinde olduğundan

$$\angle DAE=\angle DAC=15^{\circ }.$$

Eş açılar karşısındaki kenarlar eşit olduğuna göre:

$$AE=DE.$$

Fakat $△BDE$ eşkenar olduğundan:

$$DE=EB.$$

Bu iki eşitliği birleştirirsek:

$$AE=EB.$$

Yani $△AEB$ ikizkenardır.

Şimdi bu üçgenin tepe açısını bulalım. $△EDC$'de daha önce

$$\angle DEC=30^{\circ }$$

bulmuştuk. $A,E,C$ doğrusal olduğundan $EA$ ve $EC$ zıt yönlü ışınlardır; dolayısıyla:

$$\angle AED=180^{\circ }-\angle DEC=150^{\circ }.$$

Ayrıca eşkenar üçgen $BDE$'den:

$$\angle DEB=60^{\circ }.$$

$EB$ ışını $\angle AED$'nin içinde olduğundan:

$$\angle AEB=\angle AED-\angle DEB=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.$$

Böylece $△AEB$, tepe açısı $90^{\circ }$ olan bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları:

$$\angle EAB=\angle EBA=45^{\circ }.$$

$E$, $AC$ üzerinde olduğundan:

$$\angle EAB=\angle CAB.$$

Demek ki:

$$\angle CAB=45^{\circ }.$$

Son olarak $AD$, $\angle CAB$'ın içinde olduğundan:

$$\angle DAB=\angle CAB-\angle CAD=45^{\circ }-15^{\circ }.$$

Sonuç:

$$\boxed{\angle DAB=30^{\circ }.}$$

---

Çözümün tam ispat biçimi

Olimpiyat çözümünde bulduğun fikir kadar, onu boşluk bırakmadan yazman da önemlidir. Aşağıdaki sürüm, yazılı bir çözüm için uygun ayrıntı düzeyindedir.

$D$, $BC$'nin orta noktası olduğundan

$$BD=DC.$$

$AC$ üzerinde, $C$'den farklı olacak biçimde $DE=DC$ sağlayan $E$ noktası seçilsin. $E,C,A$ doğrusal olduğundan

$$\angle ECD=\angle ACD=30^{\circ }.$$

$△EDC$ ikizkenar olduğundan

$$\angle DEC=30^{\circ }$$

ve

$$\angle EDC=120^{\circ }$$

olur.

$B,D,C$ doğrusal olduğundan $\angle EDB$ ile $\angle EDC$ doğrusal çift oluşturur. Bu nedenle

$$\angle EDB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Ayrıca $BD=DC=DE$ olduğundan $BD=DE$. Dolayısıyla $△BDE$'de tepe açısı $60^{\circ }$ olan ikizkenar üçgen elde edilir; bu üçgen eşkenardır. Özellikle

$$DE=EB.$$

$△ACD$'de $\angle ADB$ dış açıdır. Bu yüzden

$$\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD.$$

Buradan

$$45^{\circ }=\angle DAC+30^{\circ }$$

ve

$$\angle DAC=15^{\circ }$$

elde edilir.

$$\angle EDA=\angle EDB-\angle ADB=60^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }.$$

$E$, $AC$ üzerinde olduğundan

$$\angle DAE=\angle DAC=15^{\circ }.$$

Buna göre $△AED$ ikizkenardır ve

$$AE=DE.$$

$DE=EB$ olduğundan

$$AE=EB.$$

Ayrıca $A,E,C$ doğrusal olduğundan

$$\angle AED=180^{\circ }-\angle DEC=150^{\circ }.$$

Eşkenar $△BDE$'den $\angle DEB=60^{\circ }$ olduğuna göre

$$\angle AEB=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.$$

$△AEB$ ikizkenar olduğundan

$$\angle EAB=45^{\circ }.$$

$E$, $AC$ üzerinde olduğundan $\angle EAB=\angle CAB=45^{\circ }$. Son olarak:

$$\angle DAB=\angle CAB-\angle CAD=45^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }.$$

Böylece

$$\boxed{\angle DAB=30^{\circ }}.$$

---

Çizimin “nedenini” geriye doğru okumak

Bu soruda yardımcı çizimi ezberlenecek bir işlem gibi düşünme. Seçim şu zincire dayanıyordu:

Şekildeki ipucu	Hedeflenen yapı	Yapılan inşa
$D$ orta nokta	Eş uzunluk	$BD=DC$
$C$ açısı $30^{\circ }$	Kolay açılı ikizkenar üçgen	$DE=DC$
$B,D,C$ doğrusal	Dış açı ve doğrusal çift	$\angle EDB$'yi bulmak
$BD=DE$ ve $\angle EDB=60^{\circ }$	Eşkenar üçgen	$△BDE$
$DE=EB$	Yeni ikizkenar üçgen	$△AEB$

Buradaki en önemli alışkanlık şudur:

Bir uzunluk eşitliği verildiğinde, o uzunluğu başka bir doğru veya kenar üzerinde yeniden üretmenin yeni bir ikizkenar üçgen doğurup doğurmayacağını araştır.

Özellikle $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$ ve $90^{\circ }$ açıları varsa, yardımcı çizim çoğu zaman sıradan bir ikizkenar üçgeni eşkenar ya da ikizkenar dik üçgene dönüştürmeyi amaçlar.

---

Çözümü görselle karşılaştır

Numbrik kanalının kısa anlatımı, aynı yardımcı nokta fikrini dinamik biçimde gösteriyor. Önce çözümünü kapatıp yalnızca problemi izlemen, sonra inşanın hangi bilgiyi kullandığını kendin söylemen faydalı olur.

Video çözümünü izledikten sonra defterinde yalnızca şu üç satırı yazıp yanına gerekçelerini eklemen yeterli bir tekrar olur:

$$DE=DC,△BDE\text{ es¸kenardır},△AEB\text{ ikizkenar dik u¨c¸gendir}.$$

Bu üç sonuçtan her birinin hangi önceki bilgiden geldiğini açıklayabiliyorsan, yardımcı çizimi gerçekten kullanmış olursun; yalnızca izlemiş olmazsın.

---

Sık hata noktaları

Bu tür bir çözümde sonuç doğru olsa bile ispatın eksik sayılmasına yol açabilecek birkaç nokta vardır.

$E$ noktasını tanımlamadan kullanmak

“$E$ alalım” ifadesi yeterli değildir. Şunu yazmak gerekir:

$AC$ üzerinde, $C$'den farklı ve $DE=DC$ olacak biçimde $E$ noktası seçilsin.

Böylece hem $E,A,C$ doğrusallığı hem de yeni eşitlik açık olur.

Dış açının hangi üçgene ait olduğunu belirtmemek

$$\angle ADB=45^{\circ }$$

açısı $△ACD$'nin $D$ köşesindeki dış açısıdır. Bu yüzden:

$$\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD.$$

Bu ilişkiyi $△ABD$'ye aitmiş gibi yazmak yanlıştır.

Eşkenar sonucu için gerekçe atlamak

$$BD=DE$$

tek başına $△BDE$'nin eşkenar olduğunu göstermez; sadece ikizkenar olduğunu gösterir. Ayrıca

$$\angle EDB=60^{\circ }$$

bulunmalıdır. Ondan sonra taban açıları da $60^{\circ }$ çıkar ve üçgenin eşkenar olduğu söylenebilir.

Açılar çıkarılırken ışın sırasını kontrol etmemek

Örneğin:

$$\angle EDA=\angle EDB-\angle ADB$$

yazmadan önce $DA$ ışınının $\angle EDB$'nin içinde olduğundan emin olmalısın. Açı çıkarma işlemleri yalnızca şekil üzerindeki ışın sırası doğruysa geçerlidir.

---

Bu dersin ana sonucu, bir yardımcı çizimin “rastgele eklenmiş çizgi” olmadığıdır. Burada $DE=DC$ inşası, orta noktanın verdiği $BD=DC$ eşitliğini kullanmak için seçildi; ardından ikizkenar üçgen, doğrusal açı ve eşkenar üçgen yapıları sırayla ortaya çıktı.

İlk modülü tamamlarken şu kontrol listesini kullanabilirsin:

1. Şekildeki eşit uzunluk, paralellik veya özel açı nedir?
2. Bu veriyle hangi standart yapı üretilebilir?
3. Yardımcı çizim, hedef açıya ya da hedef uzunluğa yeni bir yol açıyor mu?
4. Her adımın açık bir gerekçesi var mı?

Sonraki modülde üçgenlerde alan ve oran ilişkilerine geçeceğiz. Yardımcı çizim alışkanlığın orada da sürecek; fakat bu kez çizgiler çoğunlukla açı bulmak için değil, alan oranlarını ve doğru parçası oranlarını görünür kılmak için kullanılacak.