用链式法则计算计算图梯度

你好。上一课我们建立了导数和偏导数的基本语言：导数描述局部变化率；对某个变量求偏导时，其余变量暂时视为常数。现在把这些局部规则组织起来，解决训练中真正的问题：一个最终的标量损失经过多步计算得到时，怎样高效地求它对早期输入或参数的梯度？

这一课的核心是链式法则与计算图。你将能够把一个表达式拆成简单节点，先做前向计算并保存中间值，再从最终输出反向逐节点计算梯度。这正是 PyTorch 的 backward()、奖励模型训练、SFT 损失反传，以及后续 PPO/DPO 梯度计算所共享的底层机制。

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链式法则：把“局部变化”连接成“全局变化”

先看最简单的复合函数：

$$u=g(x)$$ $$L=f(u)$$

最终的 $L$ 并不直接由 $x$ 给出，而是先由 $x$ 计算出中间变量 $u$，再计算 $L$。如果 $x$ 有一个很小的变化，它会先改变 $u$，再通过 $u$ 改变 $L$。

链式法则写作：

$$\frac{dL}{dx} = \frac{dL}{du} \frac{du}{dx}$$

它并不是需要机械背诵的符号规则，而是两段局部变化率的组合：

• $\frac{du}{dx}$：$x$ 的变化会怎样影响中间变量 $u$；
• $\frac{dL}{du}$：$u$ 的变化会怎样影响最终结果 $L$；
• 两者相乘：$x$ 的变化最终会怎样影响 $L$。

例如：

$$u=x^2$$ $$L=\ln u$$

于是：

$$\frac{dL}{du}=\frac{1}{u}$$ $$\frac{du}{dx}=2x$$

因此：

$$\frac{dL}{dx} = \frac{1}{u}\cdot 2x = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

这里把 $u=x^2$ 代回了最终结果。直接对 $L=\ln(x^2)$ 求导也可以，但当模型由成百上千个算子组成时，直接展开会迅速失控。计算图的价值就在于：不必写出庞大的最终导数表达式，只需在每个局部节点计算简单导数。

下面阅读 CS231n 对加法节点和乘法节点的最小示例。它展示了“前向保存中间值，反向乘局部梯度”的标准节奏。

{"type":"reading","par_intro":"阅读 Stanford CS231n 的这一小节。它用 \\(f(x,y,z)=(x+y)z\\) 演示了计算图如何把复合表达式拆开，以及为什么反向计算必须从最终输出开始。","par_directions":"在页面开头的链式法则部分，从 <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"c47e6f52\" data-range-start=\"Lets now start to consider more complicated expressions\" data-range-end=\"This is the simplest example of backpropagation.\">这个例子</span> 读到代码示例结束。重点跟踪前向阶段的 \\(q\\) 和 \\(f\\) 分别是多少；然后确认反向阶段中，\\(\\frac{\\partial f}{\\partial q}\\) 为什么等于 \\(z\\)，以及 \\(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\) 为什么还要乘上 \\(\\frac{\\partial q}{\\partial x}\\)。","learning_duration":"8 minutes","url":"https://cs231n.github.io/optimization-2","title":"CS231n Deep Learning for Computer Vision","isV2":true,"blockId":"60addbf8-c618-450e-b420-e1ccf0e7e8eb","lessonId":"a36a726f-6416-4956-a06e-4dc48e3f0eab"}

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计算图：前向算数值，反向算梯度

计算图把一次计算表示为变量和算子的依赖结构。前向传播时，从输入出发计算每个中间变量，直到最终输出；反向传播时，从最终输出的梯度出发，按相反顺序计算每个输入和中间变量的梯度。

{"type":"image","url":"https://pytorch.org/wp-content/uploads/2021/06/extended_computational_graph.png","caption":"该计算图先计算 \\(v=xy\\)，再计算 \\(w=\\ln v\\)；蓝色部分表示前向计算得到的变量值，绿色部分表示反向应用链式法则，得到 \\(w\\) 对 \\(x\\) 和 \\(y\\) 的梯度。","isV2":true,"blockId":"f75e7eaa-d977-4325-9622-f2e3d0fb125a","lessonId":"a36a726f-6416-4956-a06e-4dc48e3f0eab"}

以图中的计算为例：

$$v=xy$$ $$w=\ln v$$

为使 $\ln v$ 有定义，需满足 $v>0$。取：

$$x=2,\qquad y=3$$

前向传播：记录每个中间值

先按计算依赖顺序计算：

$$v=xy=2\times 3=6$$ $$w=\ln v=\ln 6$$

注意：反向传播不只需要最终的 $w$，还会用到 $x$、$y$ 和 $v$。例如，对数节点反向计算时需要知道 $v$，乘法节点反向计算时需要知道两个输入 $x,y$。

这就是训练框架需要在前向阶段缓存部分激活值的基本原因。后面学习显存时，会进一步分析这种缓存为何是训练显存的重要组成。

反向传播：从输出梯度为 $1$ 开始

为了表达更紧凑，定义：

$$\bar{u} = \frac{\partial w}{\partial u}$$

其中 $\bar{u}$ 表示“最终输出 $w$ 对变量 $u$ 的梯度”。在实际自动微分实现中，这也常被称为该变量的上游梯度。

由于一个标量对自身的导数为 $1$，反向传播的起点是：

$$\bar{w} = \frac{\partial w}{\partial w} = 1$$

现在反向经过对数节点。局部关系是：

$$w=\ln v$$

因此局部导数为：

$$\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{1}{v}$$

这里 $v=6$，所以：

$$\bar{v} = \frac{\partial w}{\partial v} = \frac{1}{6}$$

接着反向经过乘法节点：

$$v=xy$$

根据上一课的偏导数规则：

$$\frac{\partial v}{\partial x}=y$$ $$\frac{\partial v}{\partial y}=x$$

但我们真正需要的是 $w$ 对 $x,y$ 的梯度，因此还要乘上来自 $v$ 的上游梯度：

$$\bar{x} = \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{6}\times 3 = \frac{1}{2}$$ $$\bar{y} = \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{6}\times 2 = \frac{1}{3}$$

所以最终结果是：

$$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{2}$$ $$\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{3}$$

也可以直接验证。原式为：

$$w=\ln(xy)$$

在 $y$ 固定时，对 $x$ 求偏导：

$$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{xy}\cdot y = \frac{1}{x}$$

代入 $x=2$，结果确实为：

$$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{2}$$

直接求导与计算图反向传播的答案必须一致；区别在于，后者能系统地扩展到复杂模型。

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  "id": "ec139b55-980f-4f9d-9ca1-8a59347f1db1"
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反向传播的可执行规则

对于当前阶段的标量计算图，可以把反向传播记成一套固定流程。

1. 按前向顺序计算所有节点值。
   记录后续求局部导数所需的输入和输出。

2. 在最终标量输出处初始化梯度为 $1$。
   若最终目标是损失 $L$，则：

   $$\frac{\partial L}{\partial L}=1$$

3. 按前向计算的相反顺序处理每个节点。
   对每个节点，写出“节点输出对节点输入”的局部导数。

4. 局部导数乘以上游梯度。
   这一步就是链式法则。

5. 若一个变量通过多条路径影响最终输出，累加所有路径的梯度贡献。

常见标量节点的局部梯度如下：

前向节点	对第一个输入的局部导数	对第二个输入的局部导数
$q=a+b$	$\frac{\partial q}{\partial a}=1$	$\frac{\partial q}{\partial b}=1$
$q=ab$	$\frac{\partial q}{\partial a}=b$	$\frac{\partial q}{\partial b}=a$
$q=a^2$	$\frac{\partial q}{\partial a}=2a$	不适用
$q=\ln a$	$\frac{\partial q}{\partial a}=\frac{1}{a}$	不适用
$q=e^a$	$\frac{\partial q}{\partial a}=e^a=q$	不适用

例如，若乘法节点的输出梯度为：

$$\bar{q}=\frac{\partial L}{\partial q}$$

且：

$$q=ab$$

那么传回两个输入的梯度分别为：

$$\bar{a} = \frac{\partial L}{\partial a} = \bar{q}\cdot b$$ $$\bar{b} = \frac{\partial L}{\partial b} = \bar{q}\cdot a$$

这揭示一个常见现象：乘法节点会把“另一个输入”的数值带入梯度。 线性层参数梯度中出现输入激活值，就是这个局部规则在向量和矩阵上的扩展。

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梯度为什么会相加：变量分叉时的多条影响路径

“沿路径相乘”只覆盖了单一路径的情形。计算图还有另一个同等重要的规则：

当一个变量在前向计算中被多个后续节点使用时，它对最终输出的总梯度等于各条路径梯度之和。

考虑：

$$p=x^2$$ $$q=3x$$ $$L=p+q$$

把中间变量代回，可得：

$$L=x^2+3x$$

直接求导：

$$\frac{dL}{dx}=2x+3$$

下面用计算图的方式重新得到它。

前向传播中，令：

$$x=2$$

则：

$$p=4$$ $$q=6$$ $$L=10$$

反向传播从：

$$\bar{L}=1$$

开始。加法节点 $L=p+q$ 对两个输入的局部导数都为 $1$，因此：

$$\bar{p}=1$$ $$\bar{q}=1$$

沿 $p=x^2$ 这条路径，$x$ 收到的梯度贡献是：

$$\bar{x}_{p} = \bar{p}\cdot 2x = 1\times 4 = 4$$

沿 $q=3x$ 这条路径，$x$ 收到的梯度贡献是：

$$\bar{x}_{q} = \bar{q}\cdot 3 = 1\times 3 = 3$$

由于这两条路径都从 $x$ 出发并影响同一个最终损失，必须累加：

$$\bar{x} = \bar{x}_{p} + \bar{x}_{q} = 4+3 = 7$$

这与直接求导的结果一致：

$$2x+3=2\times 2+3=7$$

在代码中，梯度累加通常对应于 += 的语义，而不是简单赋值。漏掉这个累加，是手写反向传播或实现自定义 loss 时很典型的错误。

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一个与训练直接对应的例子：线性层、Sigmoid 与平方损失

现在把前面的规则应用到一个最小神经网络单元。设：

$$z=wx+b$$ $$a=\sigma(z)$$ $$L=\frac{1}{2}(a-y)^2$$

其中：

• $x$ 是输入特征；
• $w,b$ 是待训练参数；
• $z$ 是线性层输出；
• $a$ 是经过 Sigmoid 后的预测；
• $y$ 是目标值；
• $L$ 是单样本平方损失。

这不是语言模型常用的最终损失形式，但它清晰包含了训练中反复出现的结构：参数进入线性变换，经过非线性，再进入一个标量损失。

前向计算

取：

$$x=2,\qquad w=0.5,\qquad b=-1,\qquad y=1$$

线性部分为：

$$z=wx+b=0.5\times 2-1=0$$

Sigmoid 输出：

$$a=\sigma(0)=0.5$$

损失为：

$$L=\frac{1}{2}(0.5-1)^2=0.125$$

反向计算

从损失开始：

$$\bar{L}=1$$

先经过平方损失节点：

$$L=\frac{1}{2}(a-y)^2$$

因此：

$$\bar{a} = \frac{\partial L}{\partial a} = a-y = 0.5-1 = -0.5$$

再经过 Sigmoid 节点。上一课给出了：

$$\frac{\partial a}{\partial z} = a(1-a)$$

因此：

$$\bar{z} = \frac{\partial L}{\partial z} = \bar{a}\cdot a(1-a)$$

代入数值：

$$\bar{z} = -0.5\times 0.5\times 0.5 = -0.125$$

最后经过线性节点：

$$z=wx+b$$

局部偏导为：

$$\frac{\partial z}{\partial w}=x$$ $$\frac{\partial z}{\partial b}=1$$ $$\frac{\partial z}{\partial x}=w$$

所以：

$$\frac{\partial L}{\partial w} = \bar{z}\cdot x = -0.125\times 2 = -0.25$$ $$\frac{\partial L}{\partial b} = \bar{z}\cdot 1 = -0.125$$ $$\frac{\partial L}{\partial x} = \bar{z}\cdot w = -0.125\times 0.5 = -0.0625$$

其中最值得记住的是参数梯度结构：

$$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial z}\cdot x$$ $$\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial z}$$

即，权重梯度等于该节点的上游梯度乘输入激活值；bias 梯度则等于上游梯度本身。后续看到线性层矩阵梯度、LoRA 参数梯度，或读训练框架中的 grad_output 时，都可以把它理解为这一标量模式的批量化版本。

下面视频把相同思想放入一个小型神经网络，重点观察“参数微调先改变线性输出，再改变激活，最后改变损失”的局部链条。

{"type":"video","title":"Backpropagation calculus | Deep Learning Chapter 4","learning_duration":151,"video_id":"tIeHLnjs5U8","par_intro":"观看 3Blue1Brown 的《Backpropagation calculus | Deep Learning Chapter 4》片段。它将链式法则拆成损失、激活和线性加权求和之间的三段局部导数，并解释每一项的训练含义。","par_directions":"观看 <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"7b668502\" data-range-start=\"161\" data-range-end=\"312\">单个权重的梯度</span>。留意其中损失对激活、激活对线性输出、线性输出对权重这三项如何相乘；尤其注意最后一项为何等于上一层的激活值。","video_duration":618,"isV2":true,"blockId":"a6bbfa1a-a6ec-4007-9e94-2a02a689e81e","lessonId":"a36a726f-6416-4956-a06e-4dc48e3f0eab"}

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  "type": "exercise",
  "id": "fb122a1e-a8b0-4100-bc78-257da81ed885"
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手算与调试时的检查清单

在后训练代码中，你通常不会手写完整反向传播，但需要能够判断一个梯度实现是否可信。对一个简单计算图，可用以下检查方式：

• 先明确最终标量目标。
  反向传播通常从 loss、奖励目标或某个标量 score 开始。若输出不是标量，必须先说明是在对哪个标量函数求导。

• 前向值必须完整且可用。
  对数节点需要输入值，乘法节点需要另一侧输入，Sigmoid 节点常可利用输出 $a$ 计算 $a(1-a)$。

• 梯度的方向应符合直觉。
  在上面的例子中，预测 $a=0.5$ 低于目标 $y=1$，所以希望增大 $z$。由于：

  $$\frac{\partial L}{\partial z}<0$$

  用梯度下降更新参数时会减去一个负数，从而推动 $z$ 增大。

• 同一变量重复使用时，检查是否累加梯度。
  特别是残差连接、共享参数、多个 loss 项共同训练时，同一参数往往会收到多个梯度贡献。

• 梯度形状必须和所求变量形状一致。
  当前课以标量为主；以后进入线性层和 Transformer 时，参数梯度必须与参数张量形状一致。这是排查转置、广播和 mask 错误的重要线索。

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小结

这一课建立了反向传播的最小工作模型：

• 链式法则将复合计算分解为连续的局部导数：

$$\frac{dL}{dx} = \frac{dL}{du} \frac{du}{dx}$$

• 计算图让复杂表达式变成可管理的简单节点：前向阶段计算并缓存中间值，反向阶段按相反顺序计算梯度。

• 对单一路径，梯度遵循“沿路径相乘”；当变量经由多条路径影响最终目标时，梯度遵循“各路径贡献相加”。

• 对线性节点：

$$z=wx+b$$

其参数梯度具有核心结构：

$$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial z}x$$ $$\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial z}$$

这正是神经网络参数更新能够利用激活值和误差信号的原因。

下一课将学习有限差分梯度校验：用微小扰动近似导数，并将这个数值近似与手算或自动微分结果对照。这是实现自定义 loss、奖励函数或后训练目标时非常实用的正确性检查工具。