Сложение синусоидальных сигналов методом комплексных амплитуд

Здравствуйте. В прошлом уроке вы восстановили параметры синусоидального сигнала: амплитуду, частоту, фазу и связь между синусной и косинусной формами. Теперь используем комплексные числа не просто как математическую запись, а как рабочий инструмент: они позволяют сложить несколько синусоид одной частоты без громоздких тригонометрических преобразований.

После этого урока вы сможете получить амплитуду и фазу результирующего сигнала, складывая его комплексные амплитуды — фазоры. Это один из базовых приёмов для расчёта цепей переменного тока, фильтров, резонансных контуров и радиотехнических трактов.

---

Почему нельзя просто сложить амплитуды

Рассмотрим два сигнала одинаковой частоты:

$$x_1(t)=A_1\sin (\omega t+{\phi }_1),$$ $$x_2(t)=A_2\sin (\omega t+{\phi }_2).$$

Их сумма имеет вид:

$$x(t)=x_1(t)+x_2(t).$$

Если фазы совпадают, амплитуды действительно складываются:

$$3\sin (\omega t)+4\sin (\omega t)=7\sin (\omega t).$$

Но если одна синусоида сдвинута по фазе относительно другой, их мгновенные значения в разные моменты могут усиливать либо частично компенсировать друг друга. Поэтому в общем случае неверно писать:

$$A=A_1+A_2.$$

Например, два сигнала одинаковой амплитуды и сдвигом фаз $180^{\circ }$ полностью уничтожают друг друга:

$$A\sin (\omega t)+A\sin (\omega t+\pi )=0.$$

С другой стороны, сумма двух синусоид одной и той же угловой частоты всё равно остаётся синусоидой той же частоты:

$$A_1\sin (\omega t+{\phi }_1)+A_2\sin (\omega t+{\phi }_2)=A\sin (\omega t+\phi ).$$

Меняются только результирующие амплитуда $A$ и фаза $\phi$.

Ключевое ограничение здесь принципиально: метод фазоров работает в такой простой форме только при общем $\omega$. Если частоты разные, например $f_1=1\text{кГц}$ и $f_2=1.1\text{кГц}$, результат уже не описывается одной синусоидой: появятся биения. Это отдельная тема.

---

Комплексная амплитуда: что именно мы складываем

В прошлом уроке была использована синусная форма:

$$x(t)=A\sin (\omega t+\phi ).$$

Для неё удобно ввести комплексную амплитуду:

$$\underline{X}=A{e}^{j\phi }=A\left(\cos \phi +j\sin \phi \right).$$

Тогда сам сигнал можно восстановить как мнимую часть вращающегося комплексного вектора:

$$x(t)=\mathrm{Im}\left\{\underline{X}{e}^{j\omega t}\right\}.$$

Здесь:

• $A$ — модуль комплексной амплитуды;
• $\phi$ — её аргумент, то есть начальная фаза;
• $e^{j\omega t}$ — общий для всех сигналов множитель, задающий вращение с угловой частотой $\omega$;
• $j^2=-1$.

Можно мысленно представить фазор как вектор на комплексной плоскости. Его длина равна амплитуде сигнала, а угол относительно действительной оси равен фазе. Все фазоры одной частоты вращаются с одинаковой угловой скоростью, поэтому их взаимное расположение не меняется. Именно это делает сложение простым.

В литературе по цепям часто выбирают косинусное соглашение:

$$x(t)=A\cos (\omega t+\psi )=\mathrm{Re}\left\{{\underline{X}}_{\cos }{e}^{j\omega t}\right\},$$ $${\underline{X}}_{\cos }=A{e}^{j\psi }.$$

Оба соглашения равноправны, но смешивать их в одной задаче нельзя. Поскольку

$$\sin (\alpha )=\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right),$$

для сигнала, изначально записанного через синус, фаза в косинусном соглашении равна:

$$\psi =\phi -\frac{\pi }{2}.$$

В этом уроке основным будет синусное соглашение, чтобы оно продолжало формулы прошлого урока. Позже, при расчёте RC- и RLC-цепей, будет особенно распространено косинусное соглашение и фазоры в действующих значениях.

---

Правило сложения фазоров

Пусть имеются два сигнала:

$$x_1(t)=A_1\sin (\omega t+{\phi }_1),$$ $$x_2(t)=A_2\sin (\omega t+{\phi }_2).$$

Их комплексные амплитуды:

$${\underline{X}}_1=A_1{e}^{j{\phi }_1},$$ $${\underline{X}}_2=A_2{e}^{j{\phi }_2}.$$

Так как множитель $e^{j\omega t}$ у обоих сигналов общий, сумма записывается так:

$$x(t)=\mathrm{Im}\left\{{\underline{X}}_1{e}^{j\omega t}\right\}+\mathrm{Im}\left\{{\underline{X}}_2{e}^{j\omega t}\right\},$$ $$x(t)=\mathrm{Im}\left\{\left({\underline{X}}_1+{\underline{X}}_2\right)e^{j\omega t}\right\}.$$

Следовательно, результирующая комплексная амплитуда:

$$\underline{X}={\underline{X}}_1+{\underline{X}}_2.$$

А параметры итоговой синусоиды находятся из неё:

$$A=|\underline{X}|,$$ $$\phi =\arg (\underline{X}).$$

Итоговый алгоритм таков:

1. Записать каждый сигнал в едином соглашении: все через синус либо все через косинус.
2. Преобразовать амплитуду и фазу в комплексную амплитуду.
3. Перевести фазоры из полярной формы в алгебраическую.
4. Сложить действительные части отдельно от мнимых.
5. Вернуть сумму в полярную форму.
6. Записать результирующую синусоиду с той же частотой.

Для закрепления посмотрите короткий разбор полного процесса в форме, часто используемой в анализе цепей: сначала синусоиды приводятся к косинусному соглашению, затем складываются фазоры.

---

Вычисление в алгебраической форме

Полярная форма фазора компактна:

$$\underline{X}=A\angle \phi .$$

Но складывать фазоры в полярной форме неудобно. Перед сложением их переводят в алгебраическую форму:

$$\underline{X}=A\cos \phi +jA\sin \phi .$$

Обозначим:

$$a=A\cos \phi ,$$ $$b=A\sin \phi .$$

Тогда:

$$\underline{X}=a+jb.$$

Если

$${\underline{X}}_1=a_1+j{b}_1,$$ $${\underline{X}}_2=a_2+j{b}_2,$$

то:

$$\underline{X}=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2).$$

После сложения возвращаемся к полярной форме:

$$A=\sqrt{{\left(a_1+a_2\right)}^2+{\left(b_1+b_2\right)}^2},$$ $$\phi =atan2\left(b_1+b_2,a_1+a_2\right).$$

Функция $atan2(y,x)$ важнее обычного $\arctan (y/x)$: она учитывает знаки обеих компонент и возвращает угол в правильном квадранте. В инженерном калькуляторе это может называться atan2; в Python и NumPy используется np.angle() для аргумента комплексного числа или np.arctan2() для двух компонент.

---

Разбор: $3\sin (t)+4\sin (t+0.5)$

Рассмотрим сигналы:

$$x_1(t)=3\sin (t),$$ $$x_2(t)=4\sin (t+0.5).$$

Они имеют одну угловую частоту:

$$\omega =1\text{рад}/\text{с}.$$

Поэтому их можно сложить методом комплексных амплитуд.

В синусном соглашении для первого сигнала:

$$A_1=3,$$ $${\phi }_1=0.$$

Его фазор:

$${\underline{X}}_1=3e^{j0}=3+j0.$$

Для второго сигнала:

$$A_2=4,$$ $${\phi }_2=0.5\text{рад}.$$

Фазор второго сигнала:

$${\underline{X}}_2=4e^{j0.5}=4\cos (0.5)+j4\sin (0.5).$$

Приближённо:

$${\underline{X}}_2\approx 3.510+j\mathrm{1.918.}$$

Складываем:

$$\underline{X}={\underline{X}}_1+{\underline{X}}_2,$$ $$\underline{X}\approx (3+3.510)+j(0+1.918),$$ $$\underline{X}\approx 6.510+j\mathrm{1.918.}$$

Теперь находим модуль:

$$A=\sqrt{6.510^2+1.918^2}\approx \mathrm{6.79.}$$

И фазу:

$$\phi =atan2(1.918,6.510)\approx 0.287\text{рад}.$$

Следовательно:

$$3\sin (t)+4\sin (t+0.5)\approx 6.79\sin (t+0.287).$$

График также показывает важную физическую деталь: амплитуда результата примерно $6.79$, то есть меньше арифметической суммы $3+4=7$. Причина в том, что сдвиг фаз $0.5\text{рад}$ не позволяет обоим сигналам достигать максимумов одновременно.

---

Быстрые проверки результата

Для двух фазоров с амплитудами $A_1$ и $A_2$ и разностью фаз

$$\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1$$

амплитуду суммы можно получить сразу:

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \phi )}.$$

Эта формула полезна как проверка ручного расчёта, но для нахождения фазы результата всё равно нужны действительная и мнимая компоненты.

Несколько предельных случаев стоит помнить:

Разность фаз	Результирующая амплитуда	Смысл
$\Delta \phi =0$	$A_1+A_2$	полное сложение
$\Delta \phi =\pi$	$\left	A_1-A_2\right
$\Delta \phi =\frac{\pi }{2}$	$\sqrt{A_1^2+A_2^2}$	ортогональные фазоры

Например, для одинаковых амплитуд $A$:

$$A\sin (\omega t)+A\sin \left(\omega t+\pi \right)=0,$$

а для сдвига $90^{\circ }$:

$$A\sin (\omega t)+A\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}A\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{4}\right).$$

---

Типичные ошибки

Складывать модули фазоров вместо самих фазоров.
Выражение

$$A=A_1+A_2$$

верно только при совпадающих фазах.

Складывать фазоры в полярной форме.
Нельзя складывать отдельно модули и углы:

$$A_1\angle {\phi }_1+A_2\angle {\phi }_2\ne (A_1+A_2)\angle ({\phi }_1+{\phi }_2).$$

Для сложения сначала нужна алгебраическая форма.

Смешивать синусное и косинусное соглашения.
Если один сигнал записан как синус, а другой как косинус, сначала приведите их к единой форме. Например:

$$A\cos (\omega t+\psi )=A\sin \left(\omega t+\psi +\frac{\pi }{2}\right).$$

Смешивать пиковые и действующие значения.
В этой части курса амплитуда $A$ означает пиковое значение. В расчётах цепей часто используют RMS-фазоры. Метод сложения одинаков в обоих случаях, но все фазоры в одной задаче должны быть выражены в одной шкале.

Использовать $\arctan (b/a)$ без проверки квадранта.
Если действительная часть отрицательна, обычный арктангенс может дать угол, отличающийся на $\pi$. Поэтому предпочтительна функция $atan2(b,a)$.

---

Итоги

Комплексная амплитуда хранит два параметра синусоиды:

$$\underline{X}=A{e}^{j\phi }.$$

Для синусоид одной частоты их сумма находится простым сложением фазоров:

$$\underline{X}=\sum _k{\underline{X}}_k.$$

Практический порядок вычислений:

1. Убедиться, что все сигналы имеют одну частоту и записаны в одном соглашении.
2. Перевести каждый фазор из полярной формы в алгебраическую.
3. Сложить действительные и мнимые части.
4. Найти модуль и аргумент суммы.
5. Записать синусоиду с найденными амплитудой и фазой.

В следующем уроке этот же тип сигналов будет перенесён в дискретное время: вы сгенерируете и визуализируете синусоиды в NumPy и Matplotlib, задавая частоту дискретизации и наблюдая влияние параметров на график.