Параметры синусоидального сигнала: амплитуда, частота, период, фаза и действующее значение

Здравствуйте. В прошлом уроке вы восстановили комплексные числа: прямоугольная форма хранит две ортогональные компоненты, а полярная — модуль и угол. Теперь угол получит физическую интерпретацию: он будет описывать фазу синусоидального напряжения или тока.

В этой части модуля разберём, как по формуле или графику определить амплитуду, период, частоту, начальную фазу и действующее значение синусоиды. Эти параметры постоянно встречаются в спецификациях генераторов, осциллограммах, расчётах цепей и моделях сигналов. В следующем уроке они станут входными данными для сложения синусоидальных сигналов комплексным методом.

---

Модель синусоидального сигнала

Синусоидальное напряжение без постоянной составляющей удобно записывать так:

$$u(t)=U_m\sin(\omega t+\varphi_0).$$

Здесь:

• $u(t)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t$;
• $U_m$ — амплитуда, или пиковое значение;
• $\omega$ — круговая частота, измеряемая в $\text{рад}/\text{с}$;
• $\varphi_0$ — начальная фаза, то есть фаза при $t=0$.

Ту же формулу можно записать через частоту $f$ в герцах:

$$u(t)=U_m\sin(2\pi ft+\varphi_0).$$

Поскольку один полный цикл соответствует $2\pi$ радиан, величины связаны так:

$$\omega=2\pi f.$$

Важно различать:

Величина	Смысл	Единица
$U_m$	максимальное отклонение от средней линии	В, А и т. п.
$T$	длительность одного полного повторения	с
$f$	число периодов за секунду	Гц
$\omega$	скорость изменения фазы	$\text{рад}/\text{с}$
$\varphi_0$	положение синусоиды в цикле при $t=0$	рад или градусы

Частота и период — взаимно обратные величины:

$$f=\frac{1}{T},$$ $$T=\frac{1}{f}.$$

Например, у сигнала с частотой $f=1\ \text{МГц}$ период равен:

$$T=\frac{1}{10^6\ \text{с}}=1\ \mu\text{с}.$$

То есть за одну микросекунду синусоида совершает один полный цикл.

---

Как увидеть параметры на осциллограмме

{"type":"image","url":"https://ximera.osu.edu/em/electromagnetics/sinusoidalSignals/jpg/sinusoid.jpg","caption":"На изображении показана синусоида и отмечены её амплитуда, размах от пика до пика, период, временная задержка и действующее значение; вертикальные параметры описывают величину сигнала, а горизонтальные — его повторяемость и фазовое положение.","isV2":true,"blockId":"b92f8972-e2cc-40bd-820d-8a41a1f68d71","lessonId":"e5f0ebb6-bb80-46a9-ac70-f37dfd772d0d"}

На графике синусоиды есть горизонтальная средняя линия. Для сигнала без постоянной составляющей она совпадает с нулём.

Амплитуда $U_m$ — расстояние от средней линии до положительного или отрицательного пика. Для симметричной синусоиды пики равны по модулю:

$$u_{\max}=U_m,$$ $$u_{\min}=-U_m.$$

Размах, или значение от пика до пика, обозначают $U_{pp}$ либо $V_{pp}$:

$$U_{pp}=u_{\max}-u_{\min}.$$

У синусоиды без смещения:

$$U_{pp}=2U_m.$$

Например, если осциллограф показывает $4\ \text{В}_{pp}$, амплитуда равна:

$$U_m=2\ \text{В}.$$

Не смешивайте амплитуду и размах. Надписи 1 V, 1 Vpk, 1 Vpp и 1 Vrms описывают разные уровни одного и того же сигнала.

Период $T$ на графике измеряется по горизонтали между двумя одинаковыми состояниями сигнала. Надёжнее всего брать:

• два соседних положительных пика;
• два соседних отрицательных пика;
• два пересечения средней линии с одинаковым направлением движения, например оба пересечения снизу вверх.

Расстояние между восходящим и нисходящим нулевыми пересечениями составляет лишь половину периода:

$$\frac{T}{2}.$$

{
  "type": "exercise",
  "id": "c36b16ea-6c3e-4f42-ab99-e08cba861663"
}

---

{"type":"reading","par_intro":"Прочитайте материал Engineering LibreTexts, чтобы закрепить чтение периода, частоты, амплитуды, фазы и RMS по графику. Он особенно полезен тем, что связывает параметры осциллограммы с формулой сигнала.","par_directions":"В начале страницы прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"3e219ae3\" data-range-start=\"Sine waves exhibit quarter wave symmetry.\" data-range-end=\"and a third at half the frequency or twice the period (red).\">объяснение периода</span> и частоты. Затем найдите фрагмент, начинающийся со слов “The amplitude (vertical) of the wave…”: прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"02bdb71f\" data-range-start=\"The amplitude (vertical) of the wave can be expressed as a peak quantity\" data-range-end=\"or 5 Hz (5 cycles in one second).\">амплитуду и размах</span>, обращая внимание на различие peak и peak-to-peak.\n\nДалее прочитайте часть о фазовом сдвиге, от абзаца “Further, it is possible…” до формулы для фазы: <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"1c395b22\" data-range-start=\"Further, it is possible for a sine wave to be shifted in time compared to some other sine wave or reference.\" data-range-end=\"lagging or delayed in time, and thus negative.\">сдвиг фазы</span>. Сразу после неё просмотрите общую формулу \\(v(t)=V_{DC}+V_P\\sin(2\\pi ft+\\theta)\\). Постоянную составляющую пока воспринимайте как дополнительное вертикальное смещение.\n\nВ подразделе “Root Mean Square Measurement” прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"a66e0b21\" data-range-start=\"RMS is a special calculation used for finding equivalent DC power\" data-range-end=\"approximately 0.707.\">вывод коэффициента RMS</span>. Ваша цель — понять, почему для синусоиды появляется множитель \\(0.707\\), а не просто запомнить его.","learning_duration":"15 минут","url":"https://eng.libretexts.org/Courses/Canada_College/Circuits_and_Devices/09:_AC_Signal_Fundamentals/9.02:_Sinusoidal_Waveforms","title":"9.2: Sinusoidal Waveforms - Engineering LibreTexts","isV2":true,"blockId":"9df39237-61f0-4256-97eb-f347e7807fe8","lessonId":"e5f0ebb6-bb80-46a9-ac70-f37dfd772d0d"}

---

Фаза: положение внутри цикла

Фаза синусоиды в момент $t$ равна полному аргументу синуса:

$$\varphi(t)=\omega t+\varphi_0.$$

За один период она меняется на полный оборот:

$$2\pi\ \text{рад}=360^\circ.$$

Начальная фаза $\varphi_0$ говорит, в каком состоянии находится волна в момент $t=0$.

Рассмотрим три сигнала с одинаковыми амплитудой и частотой:

$$u_1(t)=U_m\sin(\omega t),$$ $$u_2(t)=U_m\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),$$ $$u_3(t)=U_m\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right).$$

Первый сигнал при $t=0$ пересекает ноль и растёт. Второй уже находится на положительном пике, поскольку:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Третий находится на отрицательном пике:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

Положительная начальная фаза сдвигает синусоиду влево, то есть сигнал наступает раньше опорного. Такой сигнал опережает по фазе. Отрицательная начальная фаза сдвигает волну вправо: сигнал отстаёт или задержан относительно опорного.

Временной сдвиг и фазовый связаны следующим образом:

$$\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta t}{T}.$$

В градусах:

$$\Delta\varphi=360^\circ\frac{\Delta t}{T}.$$

Здесь $\Delta t>0$ удобно трактовать как опережение, то есть сдвиг влево. Если сигнал задержан на время $\tau>0$, его формулу лучше явно записать через задержку:

$$u(t)=U_m\sin\bigl(\omega(t-\tau)\bigr).$$

После раскрытия скобок получим:

$$u(t)=U_m\sin(\omega t-\omega\tau).$$

Следовательно, задержке соответствует отрицательная фаза:

$$\varphi_0=-\omega\tau.$$

Пример фазового сдвига

Пусть период составляет:

$$T=20\ \mu\text{с}.$$

Синусоида пересекает среднюю линию снизу вверх на $5\ \mu\text{с}$ раньше опорной синусоиды. Значит, она опережает её на четверть периода:

$$\frac{\Delta t}{T}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$

Фазовый сдвиг:

$$\Delta\varphi=360^\circ\cdot\frac{1}{4}=90^\circ.$$

В радианах:

$$\Delta\varphi=\frac{\pi}{2}.$$

Опережающий сигнал можно записать так:

$$u(t)=U_m\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right).$$

Фаза определена с точностью до полного числа оборотов. Например, фазы $30^\circ$, $390^\circ$ и $-330^\circ$ соответствуют одному и тому же состоянию синусоиды.

{
  "type": "exercise",
  "id": "7b89c8cd-5613-48a1-af30-e6cc276e245e"
}

---

Действующее значение: величина, связанная с мощностью

Усреднить синусоиду по целому периоду бесполезно: положительная и отрицательная полуволны взаимно компенсируются.

$$\frac{1}{T}\int_0^T u(t)\,dt=0.$$

Но напряжение на резисторе выделяет тепло независимо от полярности: мощность зависит от квадрата напряжения. Поэтому для расчёта мощности используют действующее значение, или RMS:

$$U_{\mathrm{RMS}}= \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T u^2(t)\,dt }.$$

Название Root Mean Square буквально описывает вычисление:

1. возвести мгновенные значения в квадрат;
2. найти среднее за период;
3. извлечь квадратный корень.

Для синусоиды без постоянной составляющей:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx0.707U_m.$$

Обратное преобразование:

$$U_m=\sqrt{2}U_{\mathrm{RMS}} \approx1.414U_{\mathrm{RMS}}.$$

А через размах:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_{pp}}{2\sqrt{2}}.$$

Смысл RMS физический: синусоидальное напряжение $1\ \text{В}_{\mathrm{RMS}}$ выделяет в резисторе столько же средней мощности, сколько постоянное напряжение $1\ \text{В}$.

Для резистивной нагрузки $R$:

$$P=\frac{U_{\mathrm{RMS}}^2}{R}.$$

Например, синусоида с амплитудой $10\ \text{В}$ имеет действующее значение:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\approx7.07\ \text{В}.$$

Если она приложена к резистору $50\ \Omega$, средняя мощность равна:

$$P=\frac{7.07^2}{50}\approx1\ \text{Вт}.$$

Это соотношение особенно важно для радиотехники, где уровни ВЧ-сигналов часто нормируют в $\text{В}_{\mathrm{RMS}}$ или через мощность на нагрузке $50\ \Omega$.

{"type":"video","title":"Амплитуда, размах, действующее значение. Виды значений переменного тока. Ликбез.","learning_duration":128,"video_id":"6kz9KghGNW4","par_intro":"Посмотрите фрагмент «Амплитуда, размах, действующее значение» канала RadioChannel with Alexey Igonin. Он кратко отделяет пиковое значение, размах и RMS и связывает RMS с эквивалентным постоянным напряжением.","par_directions":"Начните с <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"40eeacfa\" data-range-start=\"52\" data-range-end=\"77\">амплитуды</span>: обратите внимание, что она отсчитывается от средней линии, а не от нижнего пика. Затем посмотрите <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"176992b2\" data-range-start=\"77\" data-range-end=\"158\">смысл RMS</span>, сопоставляя физическое объяснение с формулой \\(U_{\\mathrm{RMS}}=U_m/\\sqrt{2}\\). Завершите <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"28d558bc\" data-range-start=\"158\" data-range-end=\"180\">размахом</span> и зафиксируйте соотношение \\(U_{pp}=2U_m\\).","video_duration":467,"isV2":true,"blockId":"f87d5364-2cba-4274-b6d7-09de76429f36","lessonId":"e5f0ebb6-bb80-46a9-ac70-f37dfd772d0d"}

Формула с коэффициентом $0.707$ относится именно к чистой синусоиде. Для треугольного, прямоугольного, модулированного или шумового сигнала RMS рассчитывают по определению, а коэффициент будет другим.

Если у синусоиды есть постоянное смещение $U_{DC}$, например

$$u(t)=U_{DC}+U_m\sin(\omega t+\varphi_0),$$

то размах всё ещё равен $2U_m$, но действующее значение всего сигнала уже не равно $U_m/\sqrt{2}$:

$$U_{\mathrm{RMS}}= \sqrt{ U_{DC}^2+\frac{U_m^2}{2} }.$$

Пока достаточно видеть различие: вертикальное смещение не меняет амплитуду переменной части и период, но меняет максимумы, минимумы и полный RMS.

{
  "type": "exercise",
  "id": "bc969d85-56a0-4876-8f4b-ec778373bd79"
}

---

Полный разбор сигнала по формуле

Рассмотрим напряжение:

$$u(t)=4\sin\left(2\pi\cdot250\,000\,t-\frac{\pi}{3}\right)\ \text{В}.$$

Из формулы можно извлечь все параметры.

Амплитуда и размах

Коэффициент перед синусом:

$$U_m=4\ \text{В}.$$

Размах:

$$U_{pp}=2U_m=8\ \text{В}_{pp}.$$

Частота и период

Из выражения $2\pi ft$:

$$f=250\,000\ \text{Гц}=250\ \text{кГц}.$$

Период:

$$T=\frac{1}{250\,000}=4\ \mu\text{с}.$$

Круговая частота:

$$\omega=2\pi\cdot250\,000 \approx1.571\cdot10^6\ \text{рад}/\text{с}.$$

Фаза и временная задержка

Начальная фаза:

$$\varphi_0=-\frac{\pi}{3}=-60^\circ.$$

Отрицательный знак означает задержку относительно опорного сигнала $4\sin(2\pi ft)$. Её величина:

$$\tau=\frac{|\varphi_0|}{2\pi}T.$$

Подставим значения:

$$\tau=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot4\ \mu\text{с} \approx0.667\ \mu\text{с}.$$

Действующее значение

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{4}{\sqrt{2}} \approx2.83\ \text{В}.$$

Мгновенное значение

Пусть нужно найти напряжение через $1\ \mu\text{с}$:

$$u(1\ \mu\text{с}) = 4\sin\left( 2\pi\cdot250\,000\cdot10^{-6} -\frac{\pi}{3} \right).$$

Так как за $1\ \mu\text{с}$ сигнал проходит четверть периода, получаем:

$$2\pi\cdot250\,000\cdot10^{-6} = \frac{\pi}{2}.$$

Следовательно:

$$u(1\ \mu\text{с}) = 4\sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3} \right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\ \text{В}.$$

---

Практическая памятка и типичные ошибки

При чтении формулы или графика действуйте в одном и том же порядке:

1. Найдите среднюю линию сигнала.
2. Определите амплитуду как расстояние от средней линии до пика.
3. Найдите период между одинаковыми точками цикла.
4. Вычислите частоту через $f=1/T$.
5. Выберите опорную синусоиду и определите фазовый сдвиг по временному смещению.
6. Уточните, в каких единицах дана величина: $V_{pk}$, $V_{pp}$ или $V_{\mathrm{RMS}}$.

Наиболее частые ошибки:

• Путать $f$ и $\omega$. Частота $f$ измеряется в герцах, а $\omega=2\pi f$ — в радианах в секунду.
• Принимать размах за амплитуду. Если измерено $8\ \text{В}_{pp}$, амплитуда равна $4\ \text{В}$, а не $8\ \text{В}$.
• Считать RMS пиковым значением. Для синусоиды $10\ \text{В}_{\mathrm{RMS}}$ означает амплитуду около $14.14\ \text{В}$.
• Путать градусы и радианы. В инженерных формулах и в NumPy аргумент синуса обычно задают в радианах.
• Говорить о фазе без опоры. Фаза всегда выражает положение сигнала относительно выбранного момента времени или другого сигнала.
• Не учитывать постоянное смещение. При ненулевой средней линии амплитуду берут не от нуля, а от центра колебаний.

Также полезно узнавать косинусную форму:

$$U_m\cos(\omega t)=U_m\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right).$$

То есть косинус — это та же синусоида, опережающая синус на $90^\circ$. В радиотехнике встречаются обе записи; принципиально важно лишь явно фиксировать выбранное соглашение.

---

Итоги

Синусоидальный сигнал описывается амплитудой, скоростью повторения и фазовым положением:

$$u(t)=U_m\sin(2\pi ft+\varphi_0).$$

Ключевые соотношения:

$$T=\frac{1}{f},$$ $$\omega=2\pi f,$$ $$U_{pp}=2U_m,$$ $$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{U_{pp}}{2\sqrt{2}}.$$

Положительная фаза означает опережение относительно опорной синусоиды, отрицательная — задержку. А действующее значение позволяет рассчитать эквивалентный энергетический эффект сигнала, в частности среднюю мощность на резистивной нагрузке.

В следующем уроке вы примените фазу и амплитуду в комплексной форме: научитесь складывать синусоиды одной частоты методом комплексных амплитуд.