Параметры синусоидального сигнала: амплитуда, частота, период, фаза и действующее значение

Здравствуйте. В прошлом уроке вы восстановили комплексные числа: прямоугольная форма хранит две ортогональные компоненты, а полярная — модуль и угол. Теперь угол получит физическую интерпретацию: он будет описывать фазу синусоидального напряжения или тока.

В этой части модуля разберём, как по формуле или графику определить амплитуду, период, частоту, начальную фазу и действующее значение синусоиды. Эти параметры постоянно встречаются в спецификациях генераторов, осциллограммах, расчётах цепей и моделях сигналов. В следующем уроке они станут входными данными для сложения синусоидальных сигналов комплексным методом.

---

Модель синусоидального сигнала

Синусоидальное напряжение без постоянной составляющей удобно записывать так:

$$u(t)=U_m\sin (\omega t+{\phi }_0).$$

Здесь:

• $u(t)$ — мгновенное значение напряжения в момент времени $t$;
• $U_m$ — амплитуда, или пиковое значение;
• $\omega$ — круговая частота, измеряемая в $\text{рад}/\text{с}$;
• ${\phi }_0$ — начальная фаза, то есть фаза при $t=0$.

Ту же формулу можно записать через частоту $f$ в герцах:

$$u(t)=U_m\sin (2\pi ft+{\phi }_0).$$

Поскольку один полный цикл соответствует $2\pi$ радиан, величины связаны так:

$$\omega =2\pi f.$$

Важно различать:

Величина	Смысл	Единица
$U_m$	максимальное отклонение от средней линии	В, А и т. п.
$T$	длительность одного полного повторения	с
$f$	число периодов за секунду	Гц
$\omega$	скорость изменения фазы	$\text{рад}/\text{с}$
${\phi }_0$	положение синусоиды в цикле при $t=0$	рад или градусы

Частота и период — взаимно обратные величины:

$$f=\frac{1}{T},$$ $$T=\frac{1}{f}.$$

Например, у сигнала с частотой $f=1\text{МГц}$ период равен:

$$T=\frac{1}{10^6\text{с}}=1\mu \text{с}.$$

То есть за одну микросекунду синусоида совершает один полный цикл.

---

Как увидеть параметры на осциллограмме

На графике синусоиды есть горизонтальная средняя линия. Для сигнала без постоянной составляющей она совпадает с нулём.

Амплитуда $U_m$ — расстояние от средней линии до положительного или отрицательного пика. Для симметричной синусоиды пики равны по модулю:

$$u_{\max }=U_m,$$ $$u_{\min }=-U_m.$$

Размах, или значение от пика до пика, обозначают $U_{pp}$ либо $V_{pp}$:

$$U_{pp}=u_{\max }-u_{\min }.$$

У синусоиды без смещения:

$$U_{pp}=2U_m.$$

Например, если осциллограф показывает $4{\text{В}}_{pp}$, амплитуда равна:

$$U_m=2\text{В}.$$

Не смешивайте амплитуду и размах. Надписи 1 V, 1 Vpk, 1 Vpp и 1 Vrms описывают разные уровни одного и того же сигнала.

Период $T$ на графике измеряется по горизонтали между двумя одинаковыми состояниями сигнала. Надёжнее всего брать:

• два соседних положительных пика;
• два соседних отрицательных пика;
• два пересечения средней линии с одинаковым направлением движения, например оба пересечения снизу вверх.

Расстояние между восходящим и нисходящим нулевыми пересечениями составляет лишь половину периода:

$$\frac{T}{2}.$$

---

---

Фаза: положение внутри цикла

Фаза синусоиды в момент $t$ равна полному аргументу синуса:

$$\phi (t)=\omega t+{\phi }_0.$$

За один период она меняется на полный оборот:

$$2\pi \text{рад}=360^{\circ }.$$

Начальная фаза ${\phi }_0$ говорит, в каком состоянии находится волна в момент $t=0$.

Рассмотрим три сигнала с одинаковыми амплитудой и частотой:

$$u_1(t)=U_m\sin (\omega t),$$ $$u_2(t)=U_m\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right),$$ $$u_3(t)=U_m\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right).$$

Первый сигнал при $t=0$ пересекает ноль и растёт. Второй уже находится на положительном пике, поскольку:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1.$$

Третий находится на отрицательном пике:

$$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1.$$

Положительная начальная фаза сдвигает синусоиду влево, то есть сигнал наступает раньше опорного. Такой сигнал опережает по фазе. Отрицательная начальная фаза сдвигает волну вправо: сигнал отстаёт или задержан относительно опорного.

Временной сдвиг и фазовый связаны следующим образом:

$$\Delta \phi =2\pi \frac{\Delta t}{T}.$$

В градусах:

$$\Delta \phi =360^{\circ }\frac{\Delta t}{T}.$$

Здесь $\Delta t>0$ удобно трактовать как опережение, то есть сдвиг влево. Если сигнал задержан на время $\tau >0$, его формулу лучше явно записать через задержку:

$$u(t)=U_m\sin (\omega (t-\tau )).$$

После раскрытия скобок получим:

$$u(t)=U_m\sin (\omega t-\omega \tau ).$$

Следовательно, задержке соответствует отрицательная фаза:

$${\phi }_0=-\omega \tau .$$

Пример фазового сдвига

Пусть период составляет:

$$T=20\mu \text{с}.$$

Синусоида пересекает среднюю линию снизу вверх на $5\mu \text{с}$ раньше опорной синусоиды. Значит, она опережает её на четверть периода:

$$\frac{\Delta t}{T}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$

Фазовый сдвиг:

$$\Delta \phi =360^{\circ }\cdot \frac{1}{4}=90^{\circ }.$$

В радианах:

$$\Delta \phi =\frac{\pi }{2}.$$

Опережающий сигнал можно записать так:

$$u(t)=U_m\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right).$$

Фаза определена с точностью до полного числа оборотов. Например, фазы $30^{\circ }$, $390^{\circ }$ и $-330^{\circ }$ соответствуют одному и тому же состоянию синусоиды.

---

Действующее значение: величина, связанная с мощностью

Усреднить синусоиду по целому периоду бесполезно: положительная и отрицательная полуволны взаимно компенсируются.

$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}u(t)dt=0.$$

Но напряжение на резисторе выделяет тепло независимо от полярности: мощность зависит от квадрата напряжения. Поэтому для расчёта мощности используют действующее значение, или RMS:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)dt}.$$

Название Root Mean Square буквально описывает вычисление:

1. возвести мгновенные значения в квадрат;
2. найти среднее за период;
3. извлечь квадратный корень.

Для синусоиды без постоянной составляющей:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\approx 0.707U_m.$$

Обратное преобразование:

$$U_m=\sqrt{2}{U}_{\mathrm{RMS}}\approx 1.414U_{\mathrm{RMS}}.$$

А через размах:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_{pp}}{2\sqrt{2}}.$$

Смысл RMS физический: синусоидальное напряжение $1{\text{В}}_{\mathrm{RMS}}$ выделяет в резисторе столько же средней мощности, сколько постоянное напряжение $1\text{В}$.

Для резистивной нагрузки $R$:

$$P=\frac{U_{\mathrm{RMS}}^2}{R}.$$

Например, синусоида с амплитудой $10\text{В}$ имеет действующее значение:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\approx 7.07\text{В}.$$

Если она приложена к резистору $50\Omega$, средняя мощность равна:

$$P=\frac{7.07^2}{50}\approx 1\text{Вт}.$$

Это соотношение особенно важно для радиотехники, где уровни ВЧ-сигналов часто нормируют в ${\text{В}}_{\mathrm{RMS}}$ или через мощность на нагрузке $50\Omega$.

Формула с коэффициентом $0.707$ относится именно к чистой синусоиде. Для треугольного, прямоугольного, модулированного или шумового сигнала RMS рассчитывают по определению, а коэффициент будет другим.

Если у синусоиды есть постоянное смещение $U_{DC}$, например

$$u(t)=U_{DC}+U_m\sin (\omega t+{\phi }_0),$$

то размах всё ещё равен $2U_m$, но действующее значение всего сигнала уже не равно $U_m/\sqrt{2}$:

$$U_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{U_{DC}^2+\frac{U_m^2}{2}}.$$

Пока достаточно видеть различие: вертикальное смещение не меняет амплитуду переменной части и период, но меняет максимумы, минимумы и полный RMS.

---

Полный разбор сигнала по формуле

Рассмотрим напряжение:

$$u(t)=4\sin \left(2\pi \cdot 250000t-\frac{\pi }{3}\right)\text{В}.$$

Из формулы можно извлечь все параметры.

Амплитуда и размах

Коэффициент перед синусом:

$$U_m=4\text{В}.$$

Размах:

$$U_{pp}=2U_m=8{\text{В}}_{pp}.$$

Частота и период

Из выражения $2\pi ft$:

$$f=250000\text{Гц}=250\text{кГц}.$$

Период:

$$T=\frac{1}{250000}=4\mu \text{с}.$$

Круговая частота:

$$\omega =2\pi \cdot 250000\approx 1.571\cdot 10^6\text{рад}/\text{с}.$$

Фаза и временная задержка

Начальная фаза:

$${\phi }_0=-\frac{\pi }{3}=-60^{\circ }.$$

Отрицательный знак означает задержку относительно опорного сигнала $4\sin (2\pi ft)$. Её величина:

$$\tau =\frac{|{\phi }_0|}{2\pi }T.$$

Подставим значения:

$$\tau =\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 4\mu \text{с}\approx 0.667\mu \text{с}.$$

Действующее значение

$$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\approx 2.83\text{В}.$$

Мгновенное значение

Пусть нужно найти напряжение через $1\mu \text{с}$:

$$u(1\mu \text{с})=4\sin \left(2\pi \cdot 250000\cdot 10^{-6}-\frac{\pi }{3}\right).$$

Так как за $1\mu \text{с}$ сигнал проходит четверть периода, получаем:

$$2\pi \cdot 250000\cdot 10^{-6}=\frac{\pi }{2}.$$

Следовательно:

$$u(1\mu \text{с})=4\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=4\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=2\text{В}.$$

---

Практическая памятка и типичные ошибки

При чтении формулы или графика действуйте в одном и том же порядке:

1. Найдите среднюю линию сигнала.
2. Определите амплитуду как расстояние от средней линии до пика.
3. Найдите период между одинаковыми точками цикла.
4. Вычислите частоту через $f=1/T$.
5. Выберите опорную синусоиду и определите фазовый сдвиг по временному смещению.
6. Уточните, в каких единицах дана величина: $V_{pk}$, $V_{pp}$ или $V_{\mathrm{RMS}}$.

Наиболее частые ошибки:

• Путать $f$ и $\omega$. Частота $f$ измеряется в герцах, а $\omega =2\pi f$ — в радианах в секунду.
• Принимать размах за амплитуду. Если измерено $8{\text{В}}_{pp}$, амплитуда равна $4\text{В}$, а не $8\text{В}$.
• Считать RMS пиковым значением. Для синусоиды $10{\text{В}}_{\mathrm{RMS}}$ означает амплитуду около $14.14\text{В}$.
• Путать градусы и радианы. В инженерных формулах и в NumPy аргумент синуса обычно задают в радианах.
• Говорить о фазе без опоры. Фаза всегда выражает положение сигнала относительно выбранного момента времени или другого сигнала.
• Не учитывать постоянное смещение. При ненулевой средней линии амплитуду берут не от нуля, а от центра колебаний.

Также полезно узнавать косинусную форму:

$$U_m\cos (\omega t)=U_m\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right).$$

То есть косинус — это та же синусоида, опережающая синус на $90^{\circ }$. В радиотехнике встречаются обе записи; принципиально важно лишь явно фиксировать выбранное соглашение.

---

Итоги

Синусоидальный сигнал описывается амплитудой, скоростью повторения и фазовым положением:

$$u(t)=U_m\sin (2\pi ft+{\phi }_0).$$

Ключевые соотношения:

$$T=\frac{1}{f},$$ $$\omega =2\pi f,$$ $$U_{pp}=2U_m,$$ $$U_{\mathrm{RMS}}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{U_{pp}}{2\sqrt{2}}.$$

Положительная фаза означает опережение относительно опорной синусоиды, отрицательная — задержку. А действующее значение позволяет рассчитать эквивалентный энергетический эффект сигнала, в частности среднюю мощность на резистивной нагрузке.

В следующем уроке вы примените фазу и амплитуду в комплексной форме: научитесь складывать синусоиды одной частоты методом комплексных амплитуд.