Генерация и визуализация дискретных синусоидальных сигналов

Здравствуйте. В предыдущем уроке вы складывали синусоиды одной частоты через комплексные амплитуды и получали результат в непрерывном времени:

$$x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t+\phi ).$$

Теперь перейдём к тому, как такой сигнал представляется в программе. Компьютер не хранит непрерывную функцию $x(t)$: он хранит конечный массив значений, взятых в строго определённые моменты времени. В этой форме синусоиды будут использоваться далее для моделирования цепей, спектров, фильтров, модуляции и SDR-трактов.

К концу урока вы сможете задать частоту дискретизации, сгенерировать массив отсчётов синусоиды в NumPy и корректно показать его в Matplotlib как дискретный сигнал.

---

От непрерывного времени к отсчётам

Пусть исходный сигнал задан так:

$$x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t+\phi ),$$

где $A$ — амплитуда, $f_0$ — частота в герцах, а $\phi$ — начальная фаза в радианах.

При дискретизации мы измеряем этот сигнал не во все моменты времени, а через равные интервалы:

$$T_s=\frac{1}{f_s},$$

где:

• $T_s$ — период дискретизации, секунды;
• $f_s$ — частота дискретизации, отсчётов в секунду или Гц.

Моменты взятия отсчётов имеют номера $n=0,1,2,\dots ,N-1$:

$$t_n=n{T}_s=\frac{n}{f_s}.$$

Подставляя $t_n$ в исходную формулу, получаем дискретный синусоидальный сигнал:

$$x[n]=A\sin \left(2\pi f_0\frac{n}{f_s}+\phi \right).$$

Важно различать:

Величина	Смысл	Единицы
$f_0$	частота самого сигнала	Гц
$f_s$	частота, с которой берутся отсчёты	Гц
$T_s$	расстояние по времени между отсчётами	с
$n$	номер отсчёта	безразмерный
$N$	число отсчётов в массиве	безразмерный

Например, если синусоида имеет частоту $50\text{Гц}$, а частота дискретизации равна $1000\text{Гц}$, то на один период приходится:

$$\frac{f_s}{f_0}=\frac{1000}{50}=20$$

отсчётов. Это достаточно плотное представление для наглядного графика и простых моделей.

Строгое условие отсутствия алиасинга будет подробно разобрано в модуле о дискретизации. Пока достаточно придерживаться практического правила: выбирать $f_s$ заметно выше удвоенной максимальной частоты моделируемого сигнала.

---

Два массива: время и амплитуда

В NumPy сигнал обычно хранится в двух связанных массивах:

1. t содержит моменты времени $t_n$;
2. x содержит амплитуды $x[n]$, измеренные или вычисленные в эти моменты.

Для сигналов с известной частотой дискретизации надёжнее сначала создать индексы отсчётов, а время получить делением на $f_s$:

n = np.arange(N)
t = n / fs

Такое построение прямо повторяет формулу:

$$t_n=\frac{n}{f_s}.$$

Функция np.arange(N) создаёт последовательность целых номеров:

[0, 1, 2, ..., N - 1]

Затем NumPy применяет арифметические операции сразу ко всему массиву. Это фундаментальный стиль работы с численными массивами: не нужно вручную вычислять синус в цикле для каждого отсчёта.

Посмотрите, как эти понятия связываются в коротком фрагменте видео Representing Signals in Python (Sampling) от канала Signal Processing with Paul.

---

Первая модель в NumPy

Создадим синусоиду с параметрами:

$$A=1.5,$$ $$f_0=50\text{Гц},$$ $$\phi =\frac{\pi }{6},$$ $$f_s=1000\text{Гц}.$$

Возьмём длительность наблюдения $0.1\text{с}$. За это время синусоида $50\text{Гц}$ совершит пять периодов, а массив будет содержать сто отсчётов.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры синусоиды
A = 1.5
f0 = 50.0
phi = np.pi / 6

# Параметры дискретизации
fs = 1000.0
duration = 0.10
N = int(fs * duration)

# Временная сетка и дискретный сигнал
n = np.arange(N)
t = n / fs

x = A * np.sin(2 * np.pi * f0 * t + phi)

print(f"Число отсчётов: {N}")
print(f"Период дискретизации: {1 / fs:.6f} с")
print(f"Первый отсчёт: {x[0]:.3f}")

Первое значение можно проверить вручную. При $n=0$ время равно нулю, поэтому:

$$x[0]=A\sin (\phi )=1.5\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\mathrm{0.75.}$$

Если программа вывела значение, близкое к 0.750, массив сформирован в соответствии с заданной фазой.

В выражении для x:

np.sin(2 * np.pi * f0 * t + phi)

f0 — скаляр, phi — скаляр, а t — массив из ста временных точек. NumPy выполняет умножение, сложение и вычисление sin поэлементно и возвращает массив той же длины.

Функции np.sin, np.cos и другие тригонометрические функции принимают аргумент в радианах. Поэтому множитель $2\pi$ обязателен, когда частота задана в герцах:

$$2\pi f_{0}t$$

— это фаза в радианах.

---

Как правильно показать отсчёты

Для непрерывного графика обычно используют plot, а для дискретного сигнала — stem.

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4))

ax.stem(t, x, linefmt="C0-", markerfmt="C0o", basefmt="k-")

ax.set_xlabel("Время, с")
ax.set_ylabel("Амплитуда")
ax.set_title("Дискретная синусоида: 50 Гц, fs = 1000 Гц")
ax.grid(True)

plt.show()

stem рисует отдельный маркер для каждого отсчёта и вертикальную линию до базовой линии. Такая визуализация не утверждает, что между соседними значениями существуют измеренные промежуточные точки.

Напротив, команда:

ax.plot(t, x)

соединяет соседние точки отрезками. Это часто удобно для обзора формы сигнала, но визуально создаёт впечатление непрерывной кривой. Сам массив x от этого не становится непрерывным.

Для изучения графических основ просмотрите пример Line plot из документации Matplotlib. Он показывает минимальную структуру программы: создание временного массива, вызов np.sin, настройку осей и вывод графика.

---

Дискретный сигнал и «гладкая» опорная кривая

Иногда полезно показать одновременно:

• дискретные отсчёты, которые реально представлены в массиве;
• плотную опорную кривую той же математической синусоиды.

Для опорной кривой можно вычислить сигнал в гораздо большем числе точек. Это не восстановление измеренного аналогового сигнала, а лишь удобная визуализация известной формулы.

t_ref = np.linspace(0, duration, 2000, endpoint=False)
x_ref = A * np.sin(2 * np.pi * f0 * t_ref + phi)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4))

ax.plot(
    t_ref,
    x_ref,
    color="C1",
    linewidth=1.5,
    label="Плотная опорная кривая"
)

ax.stem(
    t,
    x,
    linefmt="C0-",
    markerfmt="C0o",
    basefmt="k-",
    label="Отсчёты"
)

ax.set_xlabel("Время, с")
ax.set_ylabel("Амплитуда")
ax.set_title("Синусоида и её отсчёты")
ax.grid(True)
ax.legend()

plt.show()

Здесь np.linspace создаёт 2000 равномерно расположенных точек. Параметр endpoint=False исключает точку duration, поэтому временная сетка занимает интервал:

$$0\le t<\text{duration}.$$

Это согласуется с построением дискретного массива из $N$ отсчётов:

$$t[0]=0,$$ $$t[N-1]=\frac{N-1}{f_s}.$$

В реальной системе между отсчётами нет сохранённых значений сигнала. Если они нужны, система должна либо вычислить их по известной модели, как в нашем примере, либо восстановить приближённое представление интерполяцией. Позже эта граница между дискретными данными, цифровой обработкой и восстановлением аналогового сигнала станет важной при изучении АЦП, ЦАП и SDR.

---

Выбор arange и linspace

Обе функции полезны, но отвечают на немного разные вопросы.

np.arange

Если известны количество отсчётов и частота дискретизации, наиболее прозрачна конструкция:

N = 100
n = np.arange(N)
t = n / fs

Она гарантирует ровно $N$ отсчётов, нумеруемых от $0$ до $N-1$.

Можно встретить и такую форму:

Ts = 1 / fs
t = np.arange(0, duration, Ts)

Она хорошо передаёт физический смысл «брать отсчёт каждые $T_s$ секунд». Однако при дробных числах сравнение с конечной границей может зависеть от накопления ошибок представления чисел с плавающей точкой. Для воспроизводимой модели с фиксированным числом отсчётов удобнее вариант через индексы n.

np.linspace

linspace удобна, когда в первую очередь задан диапазон и нужное число точек:

t_ref = np.linspace(0, duration, 2000, endpoint=False)

Но следующий вариант — типичная ловушка:

t = np.linspace(0, duration, N)

По умолчанию linspace включает конечную точку. Тогда шаг составляет:

$$\frac{\text{duration}}{N-1},$$

а не:

$$\frac{1}{f_s}.$$

Если нужен именно шаг $1/f_s$, либо используйте endpoint=False, либо стройте время через индексы:

t = np.arange(N) / fs

---

Частота в герцах и частота в радианах на отсчёт

В формуле непрерывного сигнала аргумент синуса выглядит так:

$$2\pi f_{0}t+\phi .$$

После подстановки $t=n/f_s$ его можно записать иначе:

$$x[n]=A\sin \left({\Omega }_{0}n+\phi \right),$$

где

$${\Omega }_0=2\pi \frac{f_0}{f_s}$$

— дискретная угловая частота, выраженная в радианах на отсчёт.

В нашем примере:

$${\Omega }_0=2\pi \frac{50}{1000}=0.1\pi$$

радиан на отсчёт.

Это одна и та же синусоида, записанная в двух системах координат:

• $f_0=50\text{Гц}$ описывает физический сигнал во времени;
• ${\Omega }_0=0.1\pi$ рад/отсчёт описывает, насколько меняется фаза при переходе от одного элемента массива к следующему.

Для большей части прикладных расчётов удобнее задавать $f_0$ и $f_s$ в герцах, а NumPy уже вычислит нужную фазу.

---

Частые ошибки в первых моделях

Передача в sin частоты без множителя $2\pi$.

Неверно:

x = A * np.sin(f0 * t + phi)

Здесь f0 ошибочно интерпретируется как радианы в секунду, хотя была задана в герцах.

Верно:

x = A * np.sin(2 * np.pi * f0 * t + phi)

Построение графика только по x.

plt.stem(x)

Matplotlib в таком случае использует по оси $x$ индексы $0,1,2,\dots$, а не секунды. Для отладки массива это допустимо, но не годится для физического графика сигнала. Передавайте временную ось явно:

plt.stem(t, x)

Смешение частоты сигнала и частоты дискретизации.

f0 определяет форму синусоиды, а fs определяет плотность её представления. Если изменить fs, но оставить неизменными f0 и duration, физическая частота сигнала не изменится; изменится число и расположение отсчётов.

Интерпретация соединяющей линии как сигнала между отсчётами.

plot проводит линию между точками для удобства просмотра. Дискретная последовательность состоит только из элементов массива:

$$x[0],x[1],\dots ,x[N-1].$$

Для подчёркивания этого факта используйте stem, особенно при невысокой частоте дискретизации.

---

Итоги

Дискретный синусоидальный сигнал строится по формуле:

$$x[n]=A\sin \left(2\pi f_0\frac{n}{f_s}+\phi \right).$$

Рабочий шаблон в Python выглядит так:

1. Задать амплитуду $A$, частоту $f_0$, фазу $\phi$, частоту дискретизации $f_s$ и число отсчётов $N$.
2. Создать индексы n = np.arange(N).
3. Получить время t = n / fs.
4. Вычислить массив x через np.sin.
5. Показать дискретный сигнал командой ax.stem(t, x) и подписать оси с единицами измерения.

Вы уже умеете строить цифровое представление синусоиды. В следующем модуле этот навык станет основой для анализа спектра: мы начнём разбирать гармоники периодических сигналов и увидим, почему форма сигнала во времени определяет его составляющие в частотной области.