Арифметические операции и формы представления комплексных чисел

Здравствуйте. Начинаем первый модуль курса — математический и программный инструментарий, на котором затем будут строиться расчёты цепей, спектров, фильтров и радиосигналов.

Комплексные числа в радиотехнике нужны не как абстрактная математическая формальность, а как компактный язык для величины и фазы. Сегодня вы восстановите два способа записи комплексного числа, научитесь уверенно переходить между ними и выберете удобную форму для каждой арифметической операции. В следующем уроке этот аппарат сразу пригодится для описания синусоидальных сигналов.

---

Комплексное число как точка и как направленный отрезок

В электротехнике комплексное число обычно записывают так:

$$z=a+jb,$$

где:

• $a=\mathrm{Re}(z)$ — действительная часть;
• $b=\mathrm{Im}(z)$ — мнимая часть;
• $j^2=-1$.

В математике чаще используют букву $i$, но в радиотехнике и теории цепей принято $j$: букву $i$ традиционно резервируют для тока. В Python, напротив, комплексная единица записывается как 1j.

Число $z=a+jb$ удобно интерпретировать как точку $(a,b)$ на комплексной плоскости:

• горизонтальная ось — действительная;
• вертикальная ось — мнимая;
• отрезок от начала координат к точке — комплексный вектор.

Например, $z=-3+4j$ означает: на 3 единицы влево по действительной оси и на 4 единицы вверх по мнимой.

---

Алгебраическая и полярная формы

Запись $a+jb$ называется алгебраической, или прямоугольной, формой. Она хранит проекции вектора на две оси.

Тот же вектор можно описать его длиной $r$ и углом $\phi$ относительно положительного направления действительной оси. Это полярная форма:

$$z=r\angle \phi ,$$

или более явно,

$$z=r(\cos \phi +j\sin \phi ).$$

В радиотехнике запись $r\angle \phi$ особенно распространена для комплексных амплитуд, напряжений, токов и сопротивлений.

Переход из прямоугольной формы в полярную

Для числа

$$z=a+jb$$

модуль равен

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Угол можно найти через

$$\phi =atan2(b,a).$$

Функция $atan2$ принципиально надёжнее, чем простая формула

$$\arctan \left(\frac{b}{a}\right),$$

потому что она учитывает знаки обеих компонент и возвращает угол в правильной четверти.

Рассмотрим:

$$z=-6+8j.$$

Сначала модуль:

$$r=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Точка находится во второй четверти: действительная часть отрицательна, мнимая положительна. Поэтому угол не может быть отрицательным или острым:

$$\phi =atan2(8,-6)\approx 126.87^{\circ }.$$

Следовательно,

$$-6+8j=10\angle 126.87^{\circ }.$$

Если вручную использовать только $\arctan (b/a)$, получится $\arctan (-8/6)\approx -53.13^{\circ }$. Это угол с тем же тангенсом, но в четвёртой четверти, то есть для данного числа он неверен. Нужно добавить $180^{\circ }$.

Практическая памятка по четвертям:

Знаки $a$, $b$	Четверть	Угол
$a>0,b>0$	I	от $0^{\circ }$ до $90^{\circ }$
$a<0,b>0$	II	от $90^{\circ }$ до $180^{\circ }$
$a<0,b<0$	III	от $-180^{\circ }$ до $-90^{\circ }$, либо от $180^{\circ }$ до $270^{\circ }$
$a>0,b<0$	IV	от $-90^{\circ }$ до $0^{\circ }$, либо от $270^{\circ }$ до $360^{\circ }$

Оба соглашения для отрицательных углов допустимы. Например,

$$10\angle (-45^{\circ })=10\angle 315^{\circ }.$$

Для дальнейших расчётов важно лишь не смешивать градусы и радианы.

Переход из полярной формы в прямоугольную

Если известны модуль и угол, компоненты находятся так:

$$a=r\cos \phi ,$$ $$b=r\sin \phi .$$

Следовательно,

$$z=r\cos \phi +jr\sin \phi .$$

Например:

$$z=8\angle (-30^{\circ }).$$

Тогда

$$a=8\cos (-30^{\circ })=4\sqrt{3},$$ $$b=8\sin (-30^{\circ })=-4.$$

Значит,

$$8\angle (-30^{\circ })=4\sqrt{3}-4j.$$

Отдельно запомните значения для осей:

$$r\angle 0^{\circ }=r,$$ $$r\angle 90^{\circ }=jr,$$ $$r\angle 180^{\circ }=-r,$$ $$r\angle (-90^{\circ })=-jr.$$

---

Как выбирать форму для арифметики

Главное практическое правило таково:

Операция	Предпочтительная форма	Причина
Сложение, вычитание	Прямоугольная $a+jb$	Складываются отдельные компоненты
Умножение, деление	Полярная $r\angle \phi$	Модули перемножаются или делятся, углы складываются или вычитаются

Сложение и вычитание

Складывают действительные части с действительными, мнимые — с мнимыми:

$$(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d).$$

Например,

$$(3+5j)+(7-2j)=10+3j.$$

При вычитании особенно важно раскрывать скобки:

$$(3+5j)-(7-2j)=3+5j-7+2j=-4+7j.$$

Нельзя сложить $3$ и $5j$ в одно слагаемое. Они принадлежат разным осям комплексной плоскости — так же, как две координаты точки не складывают в одну координату.

Умножение в прямоугольной форме

Комплексные числа перемножаются по обычному правилу раскрытия скобок, после чего используется равенство $j^2=-1$:

$$(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc).$$

Например,

$$(2-3j)(4+5j).$$

Раскрываем скобки:

$$=8+10j-12j-15j^2.$$

Так как $j^2=-1$,

$$-15j^2=15.$$

Итак,

$$(2-3j)(4+5j)=23-2j.$$

Этот способ универсален, но при больших расчётах может стать громоздким.

Деление в прямоугольной форме: сопряжённое число

Для числа

$$z=a+jb$$

сопряжённым называется число

$$z^{\ast }=a-jb.$$

Произведение числа на сопряжённое всегда действительно:

$$(a+jb)(a-jb)=a^2+b^2=|z{|}^2.$$

Именно поэтому при делении домножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя.

Рассмотрим:

$$\frac{3+4j}{1-2j}.$$

Сопряжённое к знаменателю — $1+2j$. Домножаем дробь:

$$\frac{3+4j}{1-2j}=\frac{(3+4j)(1+2j)}{(1-2j)(1+2j)}.$$

Числитель:

$$(3+4j)(1+2j)=3+6j+4j+8j^2=-5+10j.$$

Знаменатель:

$$(1-2j)(1+2j)=1+4=5.$$

Следовательно,

$$\frac{3+4j}{1-2j}=\frac{-5+10j}{5}=-1+2j.$$

---

Умножение и деление в полярной форме

Пусть

$$z_1=r_1\angle {\phi }_1,$$ $$z_2=r_2\angle {\phi }_2.$$

Тогда при умножении модули перемножаются, а фазы складываются:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2\angle ({\phi }_1+{\phi }_2).$$

Например,

$$(4\angle 30^{\circ })(3\angle (-70^{\circ }))=12\angle (-40^{\circ }).$$

При делении модуль делится, а фаза вычитается:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle ({\phi }_1-{\phi }_2).$$

Например,

$$\frac{12\angle 80^{\circ }}{3\angle 30^{\circ }}=4\angle 50^{\circ }.$$

Эта простота — одна из центральных причин, по которой комплексная форма настолько полезна в анализе цепей и сигналов. Впоследствии коэффициенты передачи фильтров будут изменять модуль сигнала и его фазу; умножение комплексных величин позволит считать это без громоздких тригонометрических раскрытий.

Но полярная форма не удобна для сложения. Например, нельзя получить сумму $5\angle 0^{\circ }+5\angle 90^{\circ }$, просто сложив модули и углы. Нужно вернуться к компонентам:

$$5\angle 0^{\circ }=5,$$ $$5\angle 90^{\circ }=5j,$$ $$5+5j=5\sqrt{2}\angle 45^{\circ }.$$

Это правило станет основой для сложения синусоидальных сигналов в одном из следующих уроков.

---

Проверка вычислений в Python

В моделировании комплексные числа встроены в Python. Для численного эксперимента удобно использовать NumPy:

import numpy as np

z = -3 + 4j

r = np.abs(z)                 # модуль: 5.0
phi_deg = np.angle(z, deg=True)  # фаза в градусах: около 126.87

z_restored = r * np.exp(1j * np.deg2rad(phi_deg))

print(r)
print(phi_deg)
print(z_restored)

Здесь:

• np.abs(z) вычисляет $|z|$;
• np.angle(z, deg=True) вычисляет фазу в градусах;
• np.deg2rad() переводит градусы в радианы;
• np.exp(1j * phi) формирует комплексное число на единичной окружности с фазой $\varphi$.

У NumPy тригонометрические функции и np.exp() по умолчанию работают с радианами. Поэтому нельзя передать угол $30$ как аргумент функции np.cos, если имеется в виду $30^{\circ }$: сначала требуется преобразование в радианы.

Для контроля результата используйте три короткие проверки:

• после перевода $a+jb$ в полярную форму и обратно должны восстановиться те же $a$ и $b$, с небольшой численной погрешностью;
• модуль всегда неотрицателен;
• модуль произведения равен произведению модулей:

$$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|.$$

---

Итоги

Теперь у вас есть базовый набор операций с комплексными числами:

• прямоугольная форма $a+jb$ хранит действительную и мнимую компоненты;
• полярная форма $r\angle \phi$ хранит модуль и фазу;
• модуль равен $\sqrt{a^2+b^2}$, а фазу надёжнее вычислять через $atan2(b,a)$;
• складывать и вычитать следует в прямоугольной форме;
• умножать и делить удобнее в полярной форме;
• деление в прямоугольной форме выполняется домножением на сопряжённое знаменателя;
• в электротехнике используется $j$, а в Python комплексная единица записывается как 1j.

В следующем уроке этот язык получит физический смысл: вы разберёте амплитуду, частоту, период, фазу и действующее значение синусоидального сигнала.