Calcul de la charge d’un compartiment à partir de sa demi-vie

Bonjour. La leçon précédente a établi la pression inspirée d’azote, $P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}$, à partir de la profondeur, de la fraction d’azote du mélange et de l’humidification des voies aériennes. Cette pression est la cible vers laquelle tend un compartiment pendant un séjour à profondeur constante.

Nous allons maintenant calculer où en est réellement ce compartiment après un temps donné. L’idée essentielle est que le compartiment ne prend pas une quantité fixe d’azote à chaque minute : il comble toujours la moitié de l’écart qui le sépare encore de sa cible à chaque demi-vie.

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Une demi-vie mesure la réduction de l’écart, pas une quantité fixe de gaz

Un compartiment est une construction mathématique qui représente une vitesse de prise ou d’élimination du gaz inerte. Sa demi-vie, notée ici $\tau$, est le temps nécessaire pour réduire de moitié l’écart entre sa tension actuelle et sa tension d’équilibre.

Supposons un compartiment initialement moins chargé que la pression inspirée d’azote au fond. Il se charge, mais de moins en moins vite, car l’écart moteur diminue progressivement.

Le graphique ne dit pas qu’un compartiment est « rempli à 50 % de son maximum absolu » après une demi-vie. Il signifie plus précisément qu’il a parcouru 50 % de la distance entre son état initial et le nouvel équilibre.

Par exemple, après une descente à profondeur constante :

• pendant la première demi-vie, le compartiment comble $50\%$ de l’écart initial ;
• pendant la deuxième, il comble la moitié de l’écart restant, soit $25\%$ de l’écart initial ;
• pendant la troisième, il comble encore la moitié de ce qui reste, soit $12,5\%$ de l’écart initial.

La proportion totale de l’écart initial déjà comblée est donc :

Nombre de demi-vies	Fraction de l’écart comblée	Écart restant
$1$	$50\%$	$50\%$
$2$	$75\%$	$25\%$
$3$	$87,5\%$	$12,5\%$
$4$	$93,75\%$	$6,25\%$
$5$	$96,875\%$	$3,125\%$
$6$	$98,4375\%$	$1,5625\%$

Après six demi-vies, le compartiment n’est donc pas mathématiquement à $100\%$ de l’équilibre. En plongée, on le traite souvent comme pratiquement saturé, car l’écart résiduel est faible dans ce cadre de calcul.

Pour fixer cette intuition, regardez cette visualisation courte des demi-vies et de l’approche asymptotique de la saturation.

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Les trois tensions à distinguer

Pour calculer une charge, il faut nommer clairement les grandeurs. Toutes seront exprimées ici en bar.

Symbole	Signification
$P_{\mathrm{tiss},0}$	Tension initiale d’azote du compartiment, au début du segment
$P_{\mathrm{cible}}$	Tension d’équilibre vers laquelle le compartiment tend pendant ce segment
$P_{\mathrm{tiss}}(t)$	Tension du compartiment après un temps $t$

Dans le modèle simplifié utilisé dans ce module, pour une exposition à profondeur et gaz constants :

$$P_{\mathrm{cible}}\approx P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}$$

À l’air, la leçon précédente a donné :

$$P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}=0,79\left(P_{\mathrm{amb}}-0,063\right)$$

La tension initiale n’est généralement pas zéro. Pour une première plongée après une longue période en surface, le compartiment est supposé proche de l’équilibre avec l’air respiré en surface :

$$P_{\mathrm{tiss},0}\approx 0,74\text{ bar}$$

Cette valeur est celle de la pression inspirée d’azote à la surface, calculée précédemment. Une tension initiale nulle peut apparaître dans certains exemples très simplifiés, mais elle ne représente pas le point de départ normal d’un plongeur respirant de l’air.

Le principe de la demi-vie s’applique à la différence :

$$\Delta P_0=P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}$$

Après une durée $t$, la fraction de cet écart qui a été comblée est :

$$f=1-2^{-t/\tau }$$

La formule complète de la charge du compartiment est donc :

$$P_{\mathrm{tiss}}(t)=P_{\mathrm{tiss},0}+\left(P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}\right)\left(1-2^{-t/\tau }\right)$$

La quantité de charge ajoutée durant le segment, à ne pas confondre avec la tension finale, est :

$$\Delta P_{\mathrm{abs}}=P_{\mathrm{tiss}}(t)-P_{\mathrm{tiss},0}$$

L’unité de $t$ doit être la même que celle de $\tau$. Si la demi-vie est donnée en minutes, utilisez une durée en minutes.

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Calcul complet : 40 minutes à 20 m à l’air

Considérons un plongeur supposé équilibré à l’air en surface. Il est exposé pendant 40 minutes à 20 m. Nous étudions un compartiment de demi-vie :

$$\tau =20\text{ min}$$

1. Déterminer la cible au fond

À 20 m, la pression ambiante absolue vaut :

$$P_{\mathrm{amb}}=1+\frac{20}{10}=3,00\text{ bar}$$

La pression inspirée d’azote à l’air est :

$$P_{\mathrm{cible}}=P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}=0,79\left(3,00-0,063\right)$$ $$P_{\mathrm{cible}}\approx 2,32\text{ bar}$$

2. Identifier la tension initiale

Après une longue période à la surface à l’air :

$$P_{\mathrm{tiss},0}\approx 0,74\text{ bar}$$

L’écart initial entre le compartiment et la cible est donc :

$$\Delta P_0=2,32-0,74=1,58\text{ bar}$$

3. Compter les demi-vies écoulées

La durée est de 40 minutes et la demi-vie vaut 20 minutes :

$$\frac{t}{\tau }=\frac{40}{20}=2$$

Deux demi-vies se sont écoulées. Le compartiment a comblé $75\%$ de son écart initial :

$$f=1-2^{-2}=0,75$$

4. Calculer la tension finale

$$P_{\mathrm{tiss}}(40)=0,74+(2,32-0,74)\times 0,75$$ $$P_{\mathrm{tiss}}(40)=0,74+1,185$$ $$P_{\mathrm{tiss}}(40)\approx 1,93\text{ bar}$$

La tension finale du compartiment est donc environ :

$$\boxed{P_{\mathrm{tiss}}(40)\approx 1,93\text{ bar}}$$

La charge acquise au cours des 40 minutes est :

$$\Delta P_{\mathrm{abs}}=1,93-0,74=1,19\text{ bar}$$

Le compartiment reste inférieur à sa cible de $2,32$ bar. Il n’est donc pas saturé, même après deux demi-vies.

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Même profondeur, demi-vie différente : pourquoi les compartiments divergent

Reprenons les 40 minutes à 20 m à l’air. La cible reste la même :

$$P_{\mathrm{cible}}=2,32\text{ bar}$$

et le point de départ reste :

$$P_{\mathrm{tiss},0}=0,74\text{ bar}$$

Mais comparons deux compartiments.

Compartiment	Demi-vie	Demi-vies écoulées en 40 min	Fraction de l’écart comblée	Tension finale
Rapide	$10$ min	$4$	$93,75\%$	$2,22$ bar
Lent	$40$ min	$1$	$50\%$	$1,53$ bar

Pour le compartiment rapide :

$$P_{\mathrm{tiss}}(40)=0,74+(1,58\times 0,9375)\approx 2,22\text{ bar}$$

Pour le compartiment lent :

$$P_{\mathrm{tiss}}(40)=0,74+(1,58\times 0,50)=1,53\text{ bar}$$

La profondeur et le temps d’exposition sont identiques. Ce qui change est uniquement la vitesse mathématique attribuée au compartiment. Le rapide s’approche déjà fortement de l’équilibre au fond ; le lent conserve encore la moitié de l’écart initial.

C’est la raison pour laquelle un modèle de décompression suit plusieurs compartiments simultanément : un seul taux de charge ne peut pas représenter toutes les dynamiques corporelles pertinentes.

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Exemple avec une durée non entière de demi-vie

Les tables de fractions sont très utiles lorsque la durée correspond exactement à une ou plusieurs demi-vies. Mais la formule générale fonctionne aussi lorsque ce n’est pas le cas.

Prenons un compartiment de demi-vie $20$ minutes, exposé pendant $50$ minutes à 20 m à l’air. Nous conservons :

$$P_{\mathrm{tiss},0}=0,74\text{ bar}$$ $$P_{\mathrm{cible}}=2,32\text{ bar}$$

La durée représente :

$$\frac{t}{\tau }=\frac{50}{20}=2,5$$

La fraction de l’écart comblée est :

$$f=1-2^{-2,5}$$ $$f\approx 0,823$$

La tension finale vaut alors :

$$P_{\mathrm{tiss}}(50)=0,74+(2,32-0,74)\times 0,823$$ $$P_{\mathrm{tiss}}(50)\approx 2,04\text{ bar}$$

Le compartiment est donc à environ $2,04$ bar après 50 minutes. Il est plus chargé qu’après 40 minutes, mais il se rapproche de la cible par des incréments de plus en plus petits.

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Une méthode de calcul réutilisable

Pour chaque segment à profondeur constante, procédez dans cet ordre :

1. Établissez la cible : calculez $P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}$ à la profondeur et avec le gaz concernés.
2. Relevez l’état initial : utilisez la tension finale obtenue au segment précédent, ou la valeur d’équilibre en surface si le plongeur est supposé désaturé.
3. Exprimez la durée en demi-vies en calculant $t/\tau$.
4. Calculez la fraction de l’écart comblée avec $1-2^{-t/\tau }$, ou employez les valeurs $50\%$, $75\%$, $87,5\%$, etc. si le nombre de demi-vies est entier.
5. Calculez la tension finale avec la formule générale.
6. Conservez des décimales pendant le calcul, puis arrondissez le résultat final de façon cohérente, par exemple au centième de bar.

Le modèle suppose ici que la profondeur est constante dès le début du segment. Une descente réelle comporte une pression qui varie continûment : elle demandera plus tard un traitement spécifique. Pour le moment, la bonne manière de raisonner est de considérer un séjour stable avec une cible fixe.

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Contrôles de cohérence et erreurs fréquentes

Erreur	Pourquoi elle est fausse	Contrôle simple
Ajouter toujours la même quantité de charge à chaque demi-vie	Chaque demi-vie ne traite que la moitié de l’écart restant.	Les gains successifs doivent diminuer.
Écrire $50\%+50\%=100\%$ après deux demi-vies	Le second $50\%$ s’applique aux $50\%$ restants.	Après deux demi-vies, la fraction acquise est $75\%$.
Partir d’une tension nulle sans que l’énoncé le justifie	Un compartiment d’un plongeur respirant de l’air à la surface contient déjà de l’azote dissous.	Pour un plongeur désaturé à l’air, commencez autour de $0,74$ bar.
Confondre charge ajoutée et tension finale	La tension finale inclut l’azote déjà présent au début du segment.	Calculez séparément $P_{\mathrm{tiss}}(t)$ et $P_{\mathrm{tiss}}(t)-P_{\mathrm{tiss},0}$.
Dépasser la cible lors d’une charge à profondeur constante	Sans autre changement, la fonction tend vers la cible sans la dépasser.	Si $P_{\mathrm{tiss},0}<P_{\mathrm{cible}}$, le résultat doit rester entre les deux.
Utiliser une demi-vie en minutes avec un temps en heures	Le rapport $t/\tau$ doit être sans unité.	Convertissez avant de calculer.

Un contrôle particulièrement puissant consiste à regarder les cas limites :

$$t=0$$

doit donner :

$$P_{\mathrm{tiss}}(0)=P_{\mathrm{tiss},0}$$

et lorsque $t$ devient très grand, le résultat doit tendre vers :

$$P_{\mathrm{tiss}}(t)\approx P_{\mathrm{cible}}$$

Si ces deux propriétés ne sont pas respectées, la formule a probablement été mal saisie.

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À retenir

Pour une exposition à profondeur constante, un compartiment théorique tend vers la pression inspirée d’azote du segment :

$$P_{\mathrm{cible}}\approx P_{\mathrm{i}{\mathrm{N}}_2}$$

Sa tension après un temps $t$ se calcule par :

$$P_{\mathrm{tiss}}(t)=P_{\mathrm{tiss},0}+\left(P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}\right)\left(1-2^{-t/\tau }\right)$$

Une demi-vie correspond toujours à la moitié de l’écart restant. Après une, deux, trois et six demi-vies, un compartiment a comblé respectivement $50\%$, $75\%$, $87,5\%$ et environ $98,4\%$ de son écart initial vers l’équilibre.

Dans la prochaine leçon, nous inverserons ce raisonnement : au lieu de calculer la charge après une durée donnée, vous déterminerez la durée nécessaire pour atteindre une fraction de saturation — ou de désaturation — choisie.