Temps de saturation et de désaturation d’un compartiment

Bonjour. Dans la leçon précédente, vous avez calculé la tension d’un compartiment après une durée donnée à profondeur constante. Le point clé était que chaque demi-vie réduit de moitié l’écart restant entre le compartiment et sa pression cible.

Nous allons maintenant inverser le problème : lorsque l’on connaît la fraction de charge ou de décharge souhaitée, combien de temps faut-il attendre ? Cette compétence sert notamment à raisonner sur un intervalle de surface, mais uniquement dans le cadre simplifié d’un gaz et d’une profondeur constants.

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La même cinétique pour la saturation et la désaturation

On conserve les trois grandeurs de la leçon précédente :

Grandeur	Rôle
$P_{\mathrm{tiss},0}$	tension initiale du compartiment
$P_{\mathrm{cible}}$	tension d’équilibre imposée par le gaz et la profondeur du segment
$P_{\mathrm{tiss}}(t)$	tension du compartiment après le temps $t$

À profondeur et gaz constants, la tension évolue selon :

$$P_{\mathrm{tiss}}(t)=P_{\mathrm{tiss},0}+\left(P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}\right)\left(1-2^{-t/\tau }\right)$$

où $\tau$ est la demi-vie du compartiment.

La fraction de l’écart initial qui a été parcourue est :

$$f=1-2^{-t/\tau }$$

Cette formule vaut dans les deux sens.

• En saturation, le compartiment est initialement moins chargé que la cible : $P_{\mathrm{tiss},0}<P_{\mathrm{cible}}$.
• En désaturation, il est plus chargé que la cible : $P_{\mathrm{tiss},0}>P_{\mathrm{cible}}$.

Dans les deux cas, il parcourt la même fraction de la distance initiale vers sa cible. La différence porte seulement sur le sens de variation de la tension.

Un compartiment de demi-vie $\tau =20$ min qui doit parcourir $75\%$ de son écart initial mettra donc 40 minutes, qu’il soit en train de charger au fond ou de se décharger en surface.

Pour revoir visuellement ce ralentissement progressif à l’approche de l’équilibre, reprenez le court extrait suivant.

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Passer d’une fraction à un temps

Pour trouver le temps, partons de la fraction déjà parcourue :

$$f=1-2^{-t/\tau }$$

On isole d’abord la fraction restante :

$$1-f=2^{-t/\tau }$$

Puis on applique un logarithme :

$$\boxed{t=-\tau {\log }_2(1-f)}$$

Sur une calculatrice qui ne possède pas ${\log }_2$, utilisez :

$$\boxed{t=-\tau \frac{\ln (1-f)}{\ln (2)}}$$

La fraction $f$ doit être exprimée sous forme décimale. Ainsi :

$$75\%=0,75$$

et non $75$.

Table de repères

Fraction de l’écart initial parcourue	Fraction restante	Nombre de demi-vies	Temps
$50\%$	$50\%$	$1$	$\tau$
$75\%$	$25\%$	$2$	$2\tau$
$87,5\%$	$12,5\%$	$3$	$3\tau$
$90\%$	$10\%$	$3,32$	$3,32\tau$
$93,75\%$	$6,25\%$	$4$	$4\tau$
$95\%$	$5\%$	$4,32$	$4,32\tau$
$96,875\%$	$3,125\%$	$5$	$5\tau$
$98,44\%$	$1,56\%$	$6$	$6\tau$
$99\%$	$1\%$	$6,64$	$6,64\tau$

Les résultats simples à mémoriser sont les suivants :

• $50\%$ de l’écart parcouru : une demi-vie ;
• $75\%$ : deux demi-vies ;
• $87,5\%$ : trois demi-vies ;
• environ $98,4\%$ : six demi-vies.

Le document « Les différents états de saturation et les modèles de décompression » présente cette progression sous la terminologie des tables MN90, où une demi-vie est appelée période.

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Exemple de saturation : atteindre $90\%$ de la charge possible

Reprenons le segment de la leçon précédente : 20 m à l’air. Pour un compartiment de demi-vie :

$$\tau =20\text{ min}$$

on avait obtenu :

$$P_{\mathrm{tiss},0}=0,74\text{ bar}$$ $$P_{\mathrm{cible}}=2,32\text{ bar}$$

Question : combien de temps faut-il à ce compartiment pour parcourir $90\%$ de son écart initial vers la cible ?

Ici :

$$f=0,90$$

La fraction restante est :

$$1-f=0,10$$

Donc :

$$t=-20{\log }_2(0,10)$$ $$t\approx 66,4\text{ min}$$ $$\boxed{t\approx 66\text{ min}}$$

Le compartiment met donc environ 66 minutes, soit 3,32 demi-vies, pour accomplir $90\%$ de sa charge possible sur ce segment.

Il est utile de vérifier ce que signifie ce $90\%$ en pression. L’écart initial vaut :

$$P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}=2,32-0,74=1,58\text{ bar}$$

Après avoir parcouru $90\%$ de cet écart :

$$P_{\mathrm{tiss}}=0,74+1,58\times 0,90$$ $$P_{\mathrm{tiss}}\approx 2,16\text{ bar}$$

Attention : $90\%$ de saturation ne veut pas dire que la tension finale vaut $90\%$ de $2,32$ bar. La fraction s’applique à l’écart entre l’état initial et la cible, pas à la pression cible prise isolément.

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Exemple de désaturation : éliminer $75\%$ de l’excès d’azote

Supposons qu’après le segment précédent, ce même compartiment soit à :

$$P_{\mathrm{tiss},0}=1,93\text{ bar}$$

Le plongeur est maintenant en surface et respire de l’air. Dans notre modèle simplifié, la nouvelle cible est la tension d’azote inspirée à la surface :

$$P_{\mathrm{cible}}\approx 0,74\text{ bar}$$

Le compartiment ne tend donc pas vers zéro ; il tend vers l’équilibre correspondant à l’air respiré en surface.

Question : combien de temps faut-il pour éliminer $75\%$ de l’excès d’azote au-dessus de cette cible ?

La fraction de désaturation demandée est :

$$f=0,75$$

Or $75\%$ correspond exactement à deux demi-vies :

$$t=2\tau$$

Avec $\tau =20$ min :

$$\boxed{t=40\text{ min}}$$

Vérifions le résultat. L’excès initial au-dessus de la cible est :

$$1,93-0,74=1,19\text{ bar}$$

Après une désaturation de $75\%$, il reste $25\%$ de cet excès :

$$1,19\times 0,25=0,30\text{ bar}$$

La tension finale est donc environ :

$$P_{\mathrm{tiss}}(40)=0,74+0,30=1,04\text{ bar}$$

Après 40 minutes, ce compartiment n’a pas « perdu $75\%$ de son azote total ». Il a éliminé $75\%$ de l’excès initial par rapport à la cible de surface.

Cette précision est indispensable : dire « désaturation à $75\%$ » sans indiquer la tension cible peut prêter à confusion.

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Si l’objectif est une tension précise

Parfois, l’énoncé ne donne pas une fraction, mais une tension visée. Il faut alors commencer par convertir cette cible intermédiaire en fraction de l’écart initial :

$$f=\frac{P_{\mathrm{vis}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}-P_{\mathrm{tiss},0}}{P_{\mathrm{cible}}-P_{\mathrm{tiss},0}}$$

Cette formule fonctionne en charge comme en décharge, à condition que la tension visée soit située entre l’état initial et la cible finale.

Prenons le cas de désaturation précédent. On cherche le temps pour descendre de :

$$P_{\mathrm{tiss},0}=1,93\text{ bar}$$

à :

$$P_{\mathrm{vis}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}=1,04\text{ bar}$$

avec une cible de surface :

$$P_{\mathrm{cible}}=0,74\text{ bar}$$

La fraction de l’écart parcourue est :

$$f=\frac{1,04-1,93}{0,74-1,93}$$ $$f\approx 0,75$$

On retrouve donc deux demi-vies, soit 40 minutes.

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Les contrôles qui évitent les erreurs

Avant de retenir un résultat, contrôlez quatre points.

1. Le temps et la demi-vie utilisent-ils la même unité ?
   Si $\tau$ est en minutes, le résultat sera en minutes.

2. La fraction porte-t-elle sur le gradient initial ?
   Une désaturation de $75\%$ laisse $25\%$ de l’écart initial à éliminer.

3. Le sens est-il cohérent ?
   En saturation, la tension finale reste entre la tension initiale et la cible supérieure. En désaturation, elle reste entre la tension initiale et la cible inférieure.

4. L’objectif demandé est-il inférieur à $100\%$ ?
   L’équilibre exact demanderait un temps infini :

$$f=1$$ $${\log }_2(1-f)={\log }_2(0)$$

n’est pas défini. Les formulations telles que « saturation complète après six demi-vies » signifient donc « assez proche de l’équilibre pour l’usage du modèle », non une égalité mathématique parfaite.

Enfin, ces calculs ne valent que pour un segment à pression inspirée constante. Pendant une descente, une remontée ou un changement de gaz, la cible varie : on ne peut plus employer directement cette inversion simple. Ces situations seront traitées plus loin avec une méthode adaptée.

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À retenir

Une demi-vie réduit de moitié l’écart restant entre un compartiment et sa pression cible, aussi bien pendant la saturation que pendant la désaturation.

Pour déterminer le temps nécessaire afin de parcourir une fraction $f$ de l’écart initial :

$$\boxed{t=-\tau {\log }_2(1-f)}$$

Quelques repères suffisent souvent : $50\%$ correspond à une demi-vie, $75\%$ à deux, $87,5\%$ à trois et environ $98,4\%$ à six.

Lors d’un intervalle de surface à l’air, la cible du compartiment est la tension d’azote équilibrée avec l’air inspiré en surface, approximativement $0,74$ bar dans le modèle employé ici, et non zéro.

La prochaine leçon utilisera ces dynamiques de charge et de décharge pour repérer, dans un profil simplifié, le compartiment qui devient directeur pour la remontée.