Перевод углов и значения синуса и косинуса на единичной окружности

Здравствуйте! В прошлом уроке мы различали степенные, экспоненциальные и логарифмические зависимости. Теперь переходим к математическому языку периодических процессов: углам, радианам и тригонометрии.

Для радиотехники это не формальная геометрия. Фаза синусоидального сигнала измеряется в радианах; позднее в выражениях вида $\sin(\omega t+\varphi)$ именно угол определит мгновенное значение напряжения или тока. В этом уроке вы научитесь переводить градусы в радианы и обратно, а также получать $\sin$ и $\cos$ по единичной окружности, не полагаясь на калькулятор для стандартных углов.

---

Два способа измерить один поворот

Угол в градусах делит полный оборот на 360 равных частей:

$$\text{полный оборот}=360^\circ$$

Градусы удобны для человеческого восприятия: четверть оборота — $90^\circ$, половина — $180^\circ$. Но в физике и инженерной математике естественнее использовать радианы.

Радиан связан не с условным делением круга, а с длиной дуги. Пусть центральный угол $\theta$ опирается на дугу длиной $s$ в окружности радиуса $r$. Тогда его мера в радианах определяется так:

$$\theta=\frac{s}{r}$$

Один радиан — это угол, который вырезает дугу длиной, равной радиусу:

$$s=r$$

Так как длина полной окружности равна

$$2\pi r$$

то полный поворот в радианах составляет:

$$\theta=\frac{2\pi r}{r}=2\pi$$

Следовательно, ключевое соответствие:

$$360^\circ=2\pi$$

и, после деления на два,

$$180^\circ=\pi$$

Радиан безразмерен: это отношение двух длин. В инженерных записях иногда пишут «рад» для ясности, например $\omega$ в $\mathrm{rad/s}$, но в формулах радиан обычно рассматривается как безразмерная величина.

{"type":"reading","par_intro":"Прочитайте материал OpenStax, чтобы связать геометрическое определение радиана с длиной дуги, а также закрепить стандартное направление отсчёта углов.","par_directions":"Сначала в разделе “Drawing Angles in Standard Position” прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"677c9b15\" data-range-start=\"If the angle is measured in a counterclockwise direction from the initial side to the terminal side, the angle is said to be a positive angle.\" data-range-end=\"If the angle is measured in a clockwise direction, the angle is said to be a negative angle.\">направление отсчета</span>: начальная сторона лежит на положительной оси \\(x\\), положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.\n\nЗатем в разделе “Converting Between Degrees and Radians” начните с <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"f56a9c5e\" data-range-start=\"Dividing a circle into 360 parts is an arbitrary choice, although it creates the familiar degree measurement.\" data-range-end=\"The length of the arc around an entire circle is called the circumference of that circle.\">происхождения радиан</span> и продолжите до подраздела “Using Radians”, включая Figure 11. Обратите внимание на связь между длиной дуги, радиусом и полным оборотом \\(2\\pi\\).","learning_duration":"8 минут","url":"https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles","title":"5.1 Angles - Precalculus 2e","isV2":true,"blockId":"e4100c53-9678-472e-b428-3182c59c0471","lessonId":"ac9870ea-090c-4a73-95b4-fd478b676bb7"}

---

Перевод между градусами и радианами

Из равенства

$$180^\circ=\pi$$

получаются два коэффициента перевода.

Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на:

$$\frac{\pi}{180^\circ}$$

То есть:

$$\theta_{\mathrm{rad}} = \theta_{\mathrm{deg}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$$

Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте на:

$$\frac{180^\circ}{\pi}$$

То есть:

$$\theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$$

Из градусов в радианы

Переведём $150^\circ$:

$$150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$$

Значит,

$$150^\circ=\frac{5\pi}{6}$$

Переведём отрицательный угол $-45^\circ$:

$$-45^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{\pi}{4}$$

Следовательно,

$$-45^\circ=-\frac{\pi}{4}$$

Знак сохраняется: отрицательный угол по-прежнему измеряется по часовой стрелке.

Из радиан в градусы

Переведём:

$$\frac{3\pi}{2}$$

в градусы:

$$\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} = 3\cdot 90^\circ = 270^\circ$$

Значит,

$$\frac{3\pi}{2}=270^\circ$$

Ещё один полезный пример:

$$\frac{7\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} = 7\cdot 60^\circ = 420^\circ$$

Угол $420^\circ$ содержит полный поворот $360^\circ$ и ещё $60^\circ$. Поэтому его конечная сторона совпадает с конечной стороной угла $60^\circ$.

Опорные углы, которые стоит знать сразу

Градусы	Радианы	Положение
$0^\circ$	$0$	положительная ось $x$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	I четверть
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	I четверть
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	I четверть
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	положительная ось $y$
$180^\circ$	$\pi$	отрицательная ось $x$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	отрицательная ось $y$
$360^\circ$	$2\pi$	снова положительная ось $x$

Не следует превращать $\pi$ в $3.14$, если задача допускает точный ответ. Например, лучше оставить результат как

$$\frac{5\pi}{6}$$

а не записывать его десятичное приближение. Точная форма сохраняет связь с единичной окружностью и стандартными значениями синуса и косинуса.

{"type":"video","title":"Converting Radians and Degrees (Precalculus - Trigonometry 4)","learning_duration":843,"video_id":"sCwcbZSZL5o","par_intro":"Посмотрите фрагмент “Converting Radians and Degrees” от Professor Leonard. Он выводит связь \\(2\\pi=360^\\circ\\) через длину окружности, а затем показывает, как уверенно ориентироваться в квадрантных углах.","par_directions":"Начните с <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"f31e2d16\" data-range-start=\"90\" data-range-end=\"425\">смысла \\(2\\pi\\)</span>: здесь выводится, почему полный оборот равен \\(2\\pi\\) радиан. Затем посмотрите <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"bd2e79b7\" data-range-start=\"425\" data-range-end=\"648\">формулы перевода</span>, особенно вывод множителей \\(\\frac{\\pi}{180}\\) и \\(\\frac{180}{\\pi}\\). Завершите <span data-type=\"resource_video_timerange\" data-resource-subitem-id=\"9e1e86f6\" data-range-start=\"648\" data-range-end=\"933\">квадрантными углами</span>, чтобы связать \\(0\\), \\(\\frac{\\pi}{2}\\), \\(\\pi\\), \\(\\frac{3\\pi}{2}\\) и \\(2\\pi\\) с осями координат.","video_duration":2325,"isV2":true,"blockId":"22e1637f-8359-4c87-896b-6405e3aaf8a6","lessonId":"ac9870ea-090c-4a73-95b4-fd478b676bb7"}

{
  "type": "exercise",
  "id": "19383672-d291-4f85-b944-8ae241ea16a6"
}

---

Единичная окружность: от координат к синусу и косинусу

Рассмотрим окружность радиуса $1$ с центром в начале координат. Это и есть единичная окружность.

Угол $\theta$ откладывается от положительной оси $x$. Конечная сторона угла пересекает окружность в некоторой точке:

$$(x,y)$$

Для любой точки единичной окружности выполняется уравнение:

$$x^2+y^2=1$$

Главное правило урока:

$$\cos\theta=x$$ $$\sin\theta=y$$

Иными словами:

• косинус — горизонтальная координата точки;
• синус — вертикальная координата точки.

{"type":"image","url":"https://openstax.org/apps/image-cdn/v1/f=webp/apps/archive/20260604.144757/resources/61070df4ac3ffb03689c1e60e9d1e371806013be","caption":"Единичная окружность со стандартными углами в градусах и радианах: координата \\(x\\) каждой точки равна \\(\\cos\\theta\\), а координата \\(y\\) равна \\(\\sin\\theta\\).","isV2":true,"blockId":"e08e5941-ca4d-4af1-95da-f2f84b4f3fc7","lessonId":"ac9870ea-090c-4a73-95b4-fd478b676bb7"}

Это определение согласуется с тригонометрией прямоугольного треугольника. В обычном треугольнике:

$$\cos\theta=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$ $$\sin\theta=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

На единичной окружности гипотенуза, то есть радиус, равна единице. Поэтому деление на радиус ничего не меняет: катеты становятся непосредственно координатами $x$ и $y$.

---

Стандартные значения в первой четверти

Достаточно надёжно знать три пары значений для первой четверти. Остальные значения на окружности получаются из них сменой знаков.

Угол	Радианы	$\cos\theta$	$\sin\theta$	Точка
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$	$(1,0)$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$0$	$1$	$(0,1)$

Откуда берётся угол $45^\circ$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Если гипотенуза равна $1$, то каждый катет равен:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Поэтому:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Откуда берутся $30^\circ$ и $60^\circ$

У треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ стороны относятся как:

$$1:\sqrt{3}:2$$

Если гипотенуза равна $1$, все длины нужно разделить на $2$. Поэтому для угла $30^\circ$:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Для угла $60^\circ$ эти значения меняются местами:

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Удобная мнемоника для первой четверти: значения синуса растут при движении от $0^\circ$ к $90^\circ$, а значения косинуса убывают.

---

Остальные четверти: те же числа, другие знаки

Чтобы найти синус и косинус угла вне первой четверти, не нужно заново выводить значения. Следует:

1. определить четверть;
2. найти острый опорный угол;
3. взять значения для этого угла из первой четверти;
4. назначить знаки по координатам точки.

Четверть	Знак $\cos\theta$, то есть $x$	Знак $\sin\theta$, то есть $y$
I	$+$	$+$
II	$-$	$+$
III	$-$	$-$
IV	$+$	$-$

Например, угол

$$150^\circ=\frac{5\pi}{6}$$

лежит во второй четверти. Его опорный угол равен:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Для $30^\circ$ координаты в первой четверти:

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$$

Во второй четверти $x$ отрицателен, а $y$ положителен:

$$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Рассмотрим угол:

$$315^\circ=\frac{7\pi}{4}$$

Он находится в четвёртой четверти и на $45^\circ$ ниже положительной оси $x$. Значит, используются значения угла $45^\circ$, но у синуса отрицательный знак:

$$\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Наконец, отрицательный угол:

$$-120^\circ$$

можно заменить сонаправленным положительным углом:

$$-120^\circ+360^\circ=240^\circ$$

Угол $240^\circ$ лежит в третьей четверти; его опорный угол равен $60^\circ$. В третьей четверти обе координаты отрицательны:

$$\cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$$ $$\sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

{
  "type": "exercise",
  "id": "b7695b5c-1361-4a7c-a834-ee2d92a869af"
}

---

Рабочий алгоритм

При решении задачи полезно действовать в одном и том же порядке.

Если дан угол в градусах или радианах

1. При необходимости переведите его в нужную единицу.
2. Определите, где находится конечная сторона: на оси или в одной из четырёх четвертей.
3. Если угол не стандартный, замените его сонаправленным в пределах одного полного оборота.
4. Найдите опорный угол: обычно это $30^\circ$, $45^\circ$ или $60^\circ$.
5. Возьмите модуль значений синуса и косинуса для опорного угла.
6. Назначьте знаки по четверти.
7. Помните: $\cos\theta$ — это $x$, а $\sin\theta$ — это $y$.

Быстрая самопроверка

У точки на единичной окружности обязательно должно выполняться:

$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$$

Например, для угла $\frac{5\pi}{6}$:

$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}+\frac{1}{4} = 1$$

Также проверяйте знаки. Для угла во второй четверти синус не может быть отрицательным, а косинус не может быть положительным.

---

Связь с будущими сигналами

В следующем уроке синусоида будет записываться, например, так:

$$u(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$

Здесь выражение внутри косинуса должно быть углом в радианах. Значение $\omega t+\varphi$ определяет точку на единичной окружности, а значит — мгновенное значение нормированной синусоиды. Амплитуда $A$ затем масштабирует это значение до напряжения, тока или иной физической величины.

{
  "type": "exercise",
  "id": "a49b3468-6308-48fc-a079-8e7aadea28b8"
}

---

Вы освоили три опорные идеи:

• полный оборот равен одновременно $360^\circ$ и $2\pi$;
• для перевода из градусов в радианы используется множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$, а обратно — $\frac{180^\circ}{\pi}$;
• на единичной окружности

$$\cos\theta=x, \qquad \sin\theta=y$$

где $(x,y)$ — координаты конечной точки угла.

В следующем уроке мы применим эти навыки к синусоидальному сигналу: научимся находить по формуле и графику амплитуду, период, частоту и фазу.