Параметры синусоиды по формуле и графику

Здравствуйте! В предыдущем уроке мы связали угол на единичной окружности с координатами $\cos \theta$ и $\sin \theta$, а также закрепили радианы. Теперь эта геометрия превращается в язык радиотехники: напряжение, ток или цифровой отсчёт во времени часто описываются синусоидой.

К концу урока вы сможете извлекать из формулы и графика синусоиды её амплитуду, период, частоту и начальную фазу; отличать фазовый сдвиг от временной задержки; а также не путать частоту $f$ с круговой частотой $\omega$.

---

Синусоида как проекция вращения

Представим вектор единичной длины, вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью. Его вертикальная координата меняется плавно от $0$ до $1$, затем до $-1$ и снова возвращается к нулю. Это и есть синусоида.

{"type":"image","url":"https://electricalschool.info/uploads/posts/2023-11/1698938436_1.png","caption":"Вращающийся вектор на окружности и его вертикальная проекция: за один полный оборот на \\(2\\pi\\) радиан формируется один период синусоидального сигнала; начальный угол задаёт фазу.","isV2":true,"blockId":"65bcec89-84b4-4bae-a752-d19ed6582d49","lessonId":"084849f7-92f9-412e-8e77-28d4347d78f9"}

Если угол вектора в момент времени $t$ равен

$$\alpha(t)=\omega t+\varphi$$

то вертикальная проекция равна

$$\sin(\omega t+\varphi)$$

Здесь:

• $\omega t$ описывает поворот, накопленный за время $t$;
• $\varphi$ задаёт положение вектора в момент $t=0$, то есть начальную фазу;
• полный оборот составляет $2\pi$ радиан.

Поэтому за время одного периода $T$ фаза должна увеличиться ровно на $2\pi$:

$$\omega T=2\pi$$

Отсюда следует важная связь:

$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$

Поскольку частота — число полных циклов за секунду,

$$f=\frac{1}{T}$$

получаем:

$$\omega=2\pi f$$

Частота $f$ измеряется в герцах:

$$1\ \mathrm{Hz}=1\ \mathrm{s}^{-1}$$

а круговая частота $\omega$ — в радианах в секунду:

$$\mathrm{rad/s}$$

Они описывают одну и ту же скорость колебаний, но в разных единицах. Частота отвечает на вопрос «сколько циклов за секунду?», а круговая частота — «на сколько радиан меняется фаза за секунду?».

{"type":"reading","par_intro":"Прочитайте начало раздела 1.2 «Sinusoidal Waveforms» из Engineering LibreTexts. Оно связывает форму синусоиды с периодом, частотой, пиковым и пик-пиковым значениями в инженерных единицах.","par_directions":"В разделе 1.2 начните с первого абзаца о различии AC- и DC-сигналов. Прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"a83e545b\" data-range-start=\"AC, or alternating current, is so named because the current alternates or flips back and forth between two polarities.\" data-range-end=\"A series of three sine waves with differing amplitudes are shown in\">основной фрагмент</span> до рисунка с вариантами амплитуды. Обратите внимание на определение одного цикла, равенство \\(f=1/T\\), а также различие между peak и peak-to-peak.","learning_duration":"8 minutes","url":"https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/AC_Electrical_Circuit_Analysis:_A_Practical_Approach_(Fiore)/01:_Fundamentals/1.2:_Sinusoidal_Waveforms","title":"1.2: Sinusoidal Waveforms - Engineering LibreTexts","isV2":true,"blockId":"324cdd71-1974-4c20-8ea2-f1c4c4d9a44b","lessonId":"084849f7-92f9-412e-8e77-28d4347d78f9"}

---

Рабочая формула сигнала

Для напряжения удобно использовать общий вид:

$$u(t)=U_0+\hat U\sin(2\pi f t+\varphi)$$

Равнозначная запись через круговую частоту:

$$u(t)=U_0+\hat U\sin(\omega t+\varphi)$$

где

$$\omega=2\pi f$$

В этой формуле каждый параметр управляет отдельным физическим свойством сигнала.

Параметр	Смысл	Как проявляется на графике
$U_0$	постоянная составляющая, или DC offset	положение средней линии
$\hat U$	амплитуда, пиковое значение переменной части	расстояние от средней линии до пика
$f$	частота	число циклов в секунду
$T$	период	время одного полного цикла
$\omega$	круговая частота	скорость изменения фазы в $\mathrm{rad/s}$
$\varphi$	начальная фаза	сдвиг синусоиды относительно опорного сигнала

Амплитуда и пик-пиковое значение

Амплитуда $\hat U$ — не высота графика от нижнего пика до верхнего. Это расстояние от средней линии до одного пика:

$$\hat U=U_{\max}-U_0$$

или

$$\hat U=U_0-U_{\min}$$

Если известны максимальное и минимальное значения, то:

$$U_0=\frac{U_{\max}+U_{\min}}{2}$$ $$\hat U=\frac{U_{\max}-U_{\min}}{2}$$

Полная высота от минимума до максимума называется размахом, или пик-пиковым значением:

$$U_{\mathrm{pp}}=U_{\max}-U_{\min}=2\hat U$$

для синусоиды.

Например, если сигнал меняется от $-1\ \mathrm{V}$ до $7\ \mathrm{V}$, то:

$$U_0=\frac{7+(-1)}{2}=3\ \mathrm{V}$$ $$\hat U=\frac{7-(-1)}{2}=4\ \mathrm{V}$$ $$U_{\mathrm{pp}}=8\ \mathrm{V}$$

Следовательно, синусоидальная составляющая имеет амплитуду $4\ \mathrm{V}$, а не $7\ \mathrm{V}$ и не $8\ \mathrm{V}$.

{
  "type": "exercise",
  "id": "908d1344-8ebe-4be8-b668-ea6d308ae22c"
}

---

Период, частота и масштаб времени

Период $T$ — минимальный интервал времени, через который сигнал повторяется. На графике его надёжно измерять между двумя соседними точками в одинаковом состоянии, например:

• между двумя максимумами;
• между двумя минимумами;
• между двумя переходами через среднюю линию в одном направлении.

Последняя оговорка существенна. Два соседних пересечения средней линии разделены половиной периода, если в одном месте кривая идёт вверх, а в другом вниз.

Когда период найден, частота определяется как:

$$f=\frac{1}{T}$$

Например, для периода

$$T=4\ \mathrm{ms}=4\cdot 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

частота равна:

$$f=\frac{1}{4\cdot 10^{-3}}=250\ \mathrm{Hz}$$

Круговая частота:

$$\omega=2\pi\cdot 250=500\pi\ \mathrm{rad/s}$$

При работе с радиосигналами шкала времени часто будет микросекундной или наносекундной. Перевод в секунды перед вычислением частоты обязателен:

$$1\ \mathrm{ms}=10^{-3}\ \mathrm{s}$$ $$1\ \mu\mathrm{s}=10^{-6}\ \mathrm{s}$$ $$1\ \mathrm{ns}=10^{-9}\ \mathrm{s}$$

{"type":"image","url":"https://ximera.osu.edu/em/electromagnetics/sinusoidalSignals/jpg/sinusoid.jpg","caption":"График показывает амплитуду как расстояние от средней линии до пика, пик-пиковое значение как полный вертикальный размах и период как расстояние по времени между одинаковыми точками соседних циклов. Метка RMS на рисунке относится к отдельному понятию, которое будет нужно позднее при расчёте мощности.","isV2":true,"blockId":"5bc86862-f3a9-44b4-b929-2f4d25991cbf","lessonId":"084849f7-92f9-412e-8e77-28d4347d78f9"}

---

Как читать параметры из формулы

Рассмотрим сигнал:

$$u(t)=1.5+4\sin\left(2\pi\cdot 250000t-\frac{\pi}{3}\right)$$

Единицей напряжения здесь считаем вольты, а $t$ измеряется в секундах.

Сравниваем с шаблоном:

$$u(t)=U_0+\hat U\sin(2\pi f t+\varphi)$$

и читаем параметры непосредственно:

$$U_0=1.5\ \mathrm{V}$$ $$\hat U=4\ \mathrm{V}$$ $$f=250000\ \mathrm{Hz}=250\ \mathrm{kHz}$$ $$\varphi=-\frac{\pi}{3}=-60^\circ$$

Период равен:

$$T=\frac{1}{250000}=4\ \mu\mathrm{s}$$

Круговая частота:

$$\omega=2\pi f=500000\pi\ \mathrm{rad/s}$$

Максимум и минимум сигнала можно найти без подстановки времени. Синус меняется в пределах от $-1$ до $1$, поэтому:

$$u_{\max}=U_0+\hat U=1.5+4=5.5\ \mathrm{V}$$ $$u_{\min}=U_0-\hat U=1.5-4=-2.5\ \mathrm{V}$$

Отрицательный коэффициент перед синусом

Если сигнал записан так:

$$u(t)=-3\sin(2\pi f t)$$

амплитуда всё равно положительна:

$$\hat U=3$$

Минус означает отражение относительно средней линии: при $t=0$ сигнал начинает двигаться вниз, а не вверх.

При необходимости отрицательный коэффициент можно включить в фазу:

$$-\hat U\sin(\omega t) = \hat U\sin(\omega t+\pi)$$

В инженерной практике полезно считать амплитуду неотрицательной, а направление начального движения учитывать через фазу.

{
  "type": "exercise",
  "id": "9e5f1c84-e6d6-4239-b3e9-49959974972f"
}

---

Фаза и временной сдвиг

Фаза отвечает на вопрос: в какой точке цикла находится сигнал в выбранный момент времени?

Для опорной синусоиды

$$u_{\mathrm{ref}}(t)=\hat U\sin(\omega t)$$

в момент $t=0$:

$$u_{\mathrm{ref}}(0)=0$$

и кривая идёт вверх.

Если добавить положительную фазу,

$$u(t)=\hat U\sin(\omega t+\varphi)$$

то сигнал проходит те же состояния раньше опорного. На графике он сдвигается влево и считается опережающим.

Если фаза отрицательна, то сигнал приходит к тем же состояниям позже: он сдвинут вправо и запаздывает.

Пусть сигнал сдвинут относительно опорного на время $\Delta t$, причём $\Delta t>0$ означает опережение. Тогда:

$$\varphi=2\pi\frac{\Delta t}{T}$$

или, поскольку $\omega=2\pi/T$,

$$\varphi=\omega\Delta t$$

Если удобнее говорить именно о задержке $\tau>0$, используют форму:

$$u(t)=\hat U\sin\left(\omega(t-\tau)\right)$$

После раскрытия скобок:

$$u(t)=\hat U\sin(\omega t-\omega\tau)$$

Следовательно,

$$\varphi=-\omega\tau$$

То есть положительная временная задержка соответствует отрицательной фазе.

Пример: фаза в формуле

Вернёмся к сигналу:

$$u(t)=1.5+4\sin\left(2\pi\cdot 250000t-\frac{\pi}{3}\right)$$

Его фаза:

$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$

Это составляет такую долю полного цикла:

$$\frac{\left|\varphi\right|}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$$

Поэтому сигнал задержан на одну шестую периода:

$$\tau=\frac{T}{6} = \frac{4\ \mu\mathrm{s}}{6} \approx 0.667\ \mu\mathrm{s}$$

Важно: фаза не уникальна. Значения

$$\varphi$$

и

$$\varphi+2\pi k$$

где $k$ — любое целое число, описывают одну и ту же синусоиду. Например:

$$-\frac{\pi}{3}$$

и

$$\frac{5\pi}{3}$$

эквивалентны. Обычно фазу приводят к одному привычному интервалу, например от $-\pi$ до $\pi$, или от $0$ до $2\pi$.

{"type":"reading","par_intro":"Продолжите тот же раздел Engineering LibreTexts: здесь фаза связывается с долей периода, а затем параметры объединяются в одну инженерную формулу синусоиды.","par_directions":"В разделе 1.2 найдите абзац после рисунка с DC offset. Прочитайте <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"79b5ee5f\" data-range-start=\"Further, it is possible for a sine wave to be shifted in time compared to some other sine wave or reference.\" data-range-end=\"lagging waveforms start later in time and thus are drawn to the right.\">объяснение опережения и запаздывания</span>. Затем перейдите к абзацу, начинающемуся словами <span data-type=\"resource_reading_textrange\" data-resource-subitem-id=\"7a93c064\" data-range-start=\"Combining the foregoing elements allows us to develop a general format for a sine wave (voltage shown):\" data-range-end=\"a frequency of 5 Hz, and no DC offset or phase shift.\">Combining the foregoing elements</span>, и сопоставьте обозначения автора с формулой этого урока: \\(V_{DC}\\) соответствует \\(U_0\\), а \\(V_P\\) соответствует \\(\\hat U\\).","learning_duration":"7 minutes","url":"https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/AC_Electrical_Circuit_Analysis:_A_Practical_Approach_(Fiore)/01:_Fundamentals/1.2:_Sinusoidal_Waveforms","title":"1.2: Sinusoidal Waveforms - Engineering LibreTexts","isV2":true,"blockId":"3d7cea9e-67f2-4b07-963d-8cec28565acc","lessonId":"084849f7-92f9-412e-8e77-28d4347d78f9"}

---

Как определить параметры по графику

Рассмотрим график, с которого удалось считать следующие данные:

• максимальное значение равно $7\ \mathrm{V}$;
• минимальное значение равно $-1\ \mathrm{V}$;
• соседние максимумы расположены при $t=1.5\ \mathrm{ms}$ и $t=5.5\ \mathrm{ms}$;
• сигнал пересекает среднюю линию вверх при $t=0.5\ \mathrm{ms}$.

1. Находим среднюю линию и амплитуду

$$U_0=\frac{7+(-1)}{2}=3\ \mathrm{V}$$ $$\hat U=\frac{7-(-1)}{2}=4\ \mathrm{V}$$

2. Находим период и частоту

$$T=5.5\ \mathrm{ms}-1.5\ \mathrm{ms}=4\ \mathrm{ms}$$ $$f=\frac{1}{4\cdot10^{-3}}=250\ \mathrm{Hz}$$

3. Находим фазу

Для синусоиды с положительной амплитудой переход средней линии вверх соответствует условию:

$$\omega t+\varphi=0$$

с точностью до полного числа оборотов.

Здесь переход произошёл при:

$$t_{\uparrow}=0.5\ \mathrm{ms}$$

Поэтому:

$$\varphi=-\omega t_{\uparrow}$$

Можно вычислить фазу через долю периода:

$$\varphi = -2\pi\frac{0.5\ \mathrm{ms}}{4\ \mathrm{ms}} = -\frac{\pi}{4}$$

Итоговая формула:

$$u(t)=3+4\sin\left(2\pi\cdot250t-\frac{\pi}{4}\right)$$

где $u(t)$ измеряется в вольтах, а $t$ — в секундах.

Эту же кривую можно описать через косинус:

$$u(t)=3+4\cos\left(2\pi\cdot250t-\frac{3\pi}{4}\right)$$

Обе записи верны. Фаза всегда относится к выбранной опорной форме: синусу или косинусу. Поэтому нельзя сравнивать числа фаз, не уточнив, какая именно форма используется.

{
  "type": "exercise",
  "id": "7576e233-dbb4-4475-a057-56f7f8f20b62"
}

---

Надёжный алгоритм для графика

Когда перед вами осциллограмма или построенный график, придерживайтесь одного порядка.

1. Прочитайте шкалы и единицы.
   Убедитесь, что горизонтальная ось — время, а вертикальная — напряжение, ток или другая величина.

2. Найдите максимум и минимум.
   Это даёт среднюю линию:

   $$U_0=\frac{U_{\max}+U_{\min}}{2}$$

   и амплитуду:

   $$\hat U=\frac{U_{\max}-U_{\min}}{2}$$

3. Измерьте период $T$.
   Берите две последовательные одинаковые точки цикла: два пика, две впадины или два перехода через среднюю линию в одном направлении.

4. Вычислите частоту.

   $$f=\frac{1}{T}$$

5. Выберите опорную форму.
   Для записи через синус с положительной амплитудой ориентируйтесь на переход через среднюю линию вверх.

6. Определите фазу или временной сдвиг.
   Если такой переход происходит раньше $t=0$, фаза положительна; если позже, отрицательна.

7. Проверьте результат по характерным точкам.
   Подставьте время одного максимума или пересечения средней линии в полученную формулу. Значение и направление изменения должны совпадать с графиком.

---

Частые ошибки

Путать амплитуду с пик-пиковым значением.
Если размах равен $8\ \mathrm{V}$, амплитуда синусоиды равна $4\ \mathrm{V}$.

Забывать о постоянном смещении.
Сигнал, меняющийся от $-1\ \mathrm{V}$ до $7\ \mathrm{V}$, не имеет нулевой средней линии. Его DC offset равен $3\ \mathrm{V}$.

Смешивать $f$ и $\omega$.

$$f=250\ \mathrm{Hz}$$

не означает

$$\omega=250\ \mathrm{rad/s}$$

Правильно:

$$\omega=2\pi\cdot250=500\pi\ \mathrm{rad/s}$$

Измерять половину периода между разными пересечениями.
Переход вниз и следующий переход вверх разделяет половина периода, а не полный период.

Считать фазу абсолютным свойством одиночного сигнала.
Фаза всегда зависит от выбора точки отсчёта времени и опорной синусоиды. На практике особенно важна разность фаз двух сигналов одинаковой частоты.

---

Теперь вы умеете читать синусоидальный сигнал в двух направлениях:

• из формулы извлекать $\hat U$, $T$, $f$, $\omega$ и $\varphi$;
• по графику находить среднюю линию, амплитуду, период, частоту и временной или фазовый сдвиг;
• связывать фазу и задержку формулой

$$\varphi=-\omega\tau$$

для задержанного сигнала.

В следующем уроке мы перейдём к производной: она позволит интерпретировать скорость изменения сигнала и подготовит почву для анализа токов и напряжений в реактивных элементах.