Производная элементарных функций и скорость изменения сигнала

Здравствуйте! В прошлом уроке мы описывали синусоиду её амплитудой, частотой, периодом и фазой. Теперь добавим ещё один способ «читать» сигнал: не только знать его значение, но и понимать, насколько быстро оно меняется в данный момент.

Производная понадобится практически сразу в анализе электрических цепей: она связывает напряжение на конденсаторе с током и ток через катушку с напряжением. В этом уроке вы научитесь находить производные базовых функций, применять правила к выражениям сигналов и интерпретировать результат в единицах $V/s$, $A/s$ и других скоростей изменения.

---

Производная: локальная скорость изменения

Пусть напряжение задано функцией времени $u(t)$. На интервале от $t_1$ до $t_2$ его средняя скорость изменения равна:

$$\frac{u(t_2)-u(t_1)}{t_2-t_1}$$

Например, напряжение выросло с $1\mathrm{V}$ до $3\mathrm{V}$ за $0.5\mathrm{ms}$. Тогда средняя скорость изменения:

$$\frac{3-1}{0.5\cdot 10^{-3}}=4000V/s$$

Но средняя скорость не всегда характеризует конкретный момент. Сигнал мог сначала расти медленно, затем быстро, а под конец снова замедлиться. Для мгновенной скорости изменения вводят производную:

$$\frac{du}{dt}$$

Также используют обозначения:

$$u^{\prime }(t)$$

или

$$\dot{u}(t)$$

хотя в дальнейшем наиболее прозрачной будет запись $\frac{du}{dt}$: она напоминает отношение малого изменения напряжения к малому изменению времени.

Строго производная определяется пределом:

$$\frac{du}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{u(t+\Delta t)-u(t)}{\Delta t}$$

Практический смысл важнее формальной записи:

• $\frac{du}{dt}>0$: сигнал в этот момент растёт;
• $\frac{du}{dt}<0$: сигнал убывает;
• $\frac{du}{dt}=0$: график имеет горизонтальную касательную; для гладкого сигнала это обычно максимум, минимум либо плоский участок;
• модуль $\left|\frac{du}{dt}\right|$ показывает крутизну графика.

На графике самой функции производная равна наклону касательной. Не путайте её с наклоном секущей, который описывает среднее изменение на заметном интервале времени.

---

Базовые правила вычисления

В радиотехнических формулах независимая переменная чаще всего время $t$, но математические правила не меняются. В таблице ниже $C$, $a$, $b$, $n$ считаются постоянными.

Функция $f(t)$	Производная $\frac{df}{dt}$	Интерпретация
$C$	$0$	постоянный уровень не изменяется
$t$	$1$	линейный рост имеет постоянный наклон
$t^n$	$n{t}^{n-1}$	правило степени
$e^t$	$e^t$	экспонента изменяется пропорционально своему значению
$\ln t$	$\frac{1}{t}$	определено при $t>0$
$\sin t$	$\cos t$	синус и косинус сдвинуты по фазе
$\cos t$	$-\sin t$	знак минус отражает смену направления изменения

Для комбинаций функций используются несколько правил.

Линейность: самое частое правило в анализе сигналов

Если сигнал состоит из суммы компонент, его производная равна сумме производных:

$$\frac{d}{dt}\left[f(t)+g(t)\right]=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}$$

Постоянный множитель можно вынести:

$$\frac{d}{dt}\left[Cf(t)\right]=C\frac{df}{dt}$$

Поэтому производную многочлена удобно находить по отдельным слагаемым.

Рассмотрим тестовый сигнал:

$$u(t)=2+3t-0.5t^2$$

Постоянная составляющая $2$ не меняется:

$$\frac{d}{dt}(2)=0$$

Для линейного слагаемого:

$$\frac{d}{dt}(3t)=3$$

Для квадратичного:

$$\frac{d}{dt}(-0.5t^2)=-0.5\cdot 2t=-t$$

Следовательно,

$$\frac{du}{dt}=3-t$$

При $t=1$ скорость изменения равна:

$${\frac{du}{dt}|}_{t=1}=2$$

В прикладной формуле коэффициенты имеют единицы измерения, хотя в алгебраической записи они обычно не выписываются. Если $u(t)$ измеряется в вольтах, то производная обязательно имеет единицы:

$$\left[\frac{du}{dt}\right]=V/s$$

Например, выражение

$$u(t)=2\mathrm{V}+\left(3V/s\right)t-\left(0.5V/{\mathrm{s}}^2\right)t^2$$

размерно согласовано. Его производная:

$$\frac{du}{dt}=3V/s-\left(1V/{\mathrm{s}}^2\right)t$$

Произведение, частное и сложная функция

Эти правила реже нужны для простого синусоидального сигнала, но постоянно возникают в более реалистичных моделях.

Для произведения:

$$\frac{d}{dt}\left[f(t)g(t)\right]=f^{\prime }(t)g(t)+f(t)g^{\prime }(t)$$

Производная произведения не равна произведению производных.

Для частного:

$$\frac{d}{dt}\left[\frac{f(t)}{g(t)}\right]=\frac{f^{\prime }(t)g(t)-f(t)g^{\prime }(t)}{g^2(t)}$$

при условии, что $g(t)\ne 0$.

Главное для радиотехники правило — правило цепочки. Если функция зависит от аргумента, который сам зависит от времени, нужно дифференцировать оба уровня:

$$\frac{d}{dt}f(g(t))=f^{\prime }(g(t))g^{\prime }(t)$$

Например:

$$\frac{d}{dt}\sin (5t)=5\cos (5t)$$

Число $5$ нельзя потерять: аргумент синуса изменяется в пять раз быстрее, чем $t$.

Аналогично:

$$\frac{d}{dt}{e}^{at}=a{e}^{at}$$ $$\frac{d}{dt}\ln (at+b)=\frac{a}{at+b}$$

---

Производная синусоиды

Синусоидальный сигнал в форме прошлого урока выглядит так:

$$u(t)=U_0+\hat{U}\sin (\omega t+\phi )$$

где $U_0$ — постоянное смещение, $\hat{U}$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, $\phi$ — начальная фаза.

Дифференцируем по частям:

1. Производная постоянной составляющей $U_0$ равна нулю.
2. Амплитуда $\hat{U}$ остаётся постоянным множителем.
3. Производная синуса равна косинусу.
4. По правилу цепочки появляется производная аргумента $\omega t+\phi$, равная $\omega$.

Итог:

$$\frac{du}{dt}=\hat{U}\omega \cos (\omega t+\phi )$$

Это один из ключевых результатов для анализа гармонических сигналов.

Из формулы можно сразу сделать несколько выводов.

Постоянное смещение исчезает

$$\frac{d}{dt}{U}_0=0$$

Производная не реагирует на постоянный уровень. Два сигнала, отличающиеся только DC offset, имеют одинаковые производные.

Частота влияет на крутизну

Максимальное значение косинуса по модулю равно единице. Поэтому наибольшая возможная скорость изменения синусоиды:

$${\left|\frac{du}{dt}\right|}_{\max }=\hat{U}\omega$$

Это называют максимальной скоростью нарастания, или slew rate, данного синусоидального сигнала.

При равной амплитуде высокочастотная синусоида должна меняться быстрее:

$$\omega =2\pi f$$

Следовательно,

$${\left|\frac{du}{dt}\right|}_{\max }=2\pi f\hat{U}$$

Увеличение частоты в десять раз увеличивает максимальную скорость изменения в десять раз.

Пики синусоиды имеют нулевой наклон

Максимум синуса соответствует значению аргумента:

$$\omega t+\phi =\frac{\pi }{2}+2\pi k$$

В этот момент:

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\pi k\right)=0$$

и потому:

$$\frac{du}{dt}=0$$

Это хорошо согласуется с графиком: около вершины сигнал на мгновение перестаёт расти и начинает убывать.

Пример с радиочастотным масштабом

Пусть:

$$u(t)=2+0.8\sin \left(2\pi \cdot 10^{6}t-\frac{\pi }{6}\right)$$

Здесь постоянное смещение равно $2\mathrm{V}$, амплитуда составляет $0.8\mathrm{V}$, частота равна $1\mathrm{MHz}$.

Производная:

$$\frac{du}{dt}=0.8\cdot 2\pi \cdot 10^6\cos \left(2\pi \cdot 10^{6}t-\frac{\pi }{6}\right)$$

или приблизительно:

$$\frac{du}{dt}=5.03\cdot 10^6\cos \left(2\pi \cdot 10^{6}t-\frac{\pi }{6}\right)V/s$$

Максимальная скорость изменения:

$${\left|\frac{du}{dt}\right|}_{\max }=5.03\cdot 10^{6}V/s$$

В момент $t=0$:

$$\frac{du}{dt}(0)=5.03\cdot 10^6\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)$$ $$\frac{du}{dt}(0)\approx 4.35\cdot 10^{6}V/s$$

Сигнал в этот момент растёт: производная положительна.

Важно: формулы производных $\sin x$ и $\cos x$ имеют такой вид, когда аргумент $x$ задан в радианах. Именно поэтому в инженерных формулах фазы и круговые частоты записывают в радианах.

---

Производная по данным и быстрые переходы

На осциллографе, в SDR-потоке или массиве NumPy обычно есть не непрерывная формула, а набор отсчётов. Тогда производную оценивают разностным отношением.

Для соседних измерений:

$$\frac{du}{dt}\approx \frac{u(t+\Delta t)-u(t)}{\Delta t}$$

Более точная симметричная оценка около времени $t$:

$$\frac{du}{dt}\approx \frac{u(t+\Delta t)-u(t-\Delta t)}{2\Delta t}$$

В NumPy этот подход реализует np.gradient:

import numpy as np

f = 1e6
amplitude = 0.8
fs = 100e6

t = np.arange(0, 3e-6, 1 / fs)
u = amplitude * np.sin(2 * np.pi * f * t)

du_dt_numeric = np.gradient(u, 1 / fs)
du_dt_exact = amplitude * 2 * np.pi * f * np.cos(2 * np.pi * f * t)

Здесь du_dt_numeric получается из отсчётов, а du_dt_exact вычисляется по аналитической формуле. Если частота дискретизации $f_s$ достаточно велика относительно частоты сигнала, массивы будут близки, кроме небольших расхождений на границах интервала.

У идеального прямоугольного сигнала переход происходит мгновенно. Его математическая производная в точке скачка не является обычным конечным числом; в теории сигналов её описывают идеализированным импульсом. В реальном устройстве фронт всегда занимает некоторое время, поэтому производная имеет большую, но конечную амплитуду.

Это объясняет важный инженерный эффект: цепь или алгоритм, выполняющие дифференцирование, подавляют медленно меняющиеся и постоянные компоненты, но подчёркивают быстрые изменения, фронты и высокочастотный шум.

---

Краткий алгоритм и типичные ошибки

Для выражения сигнала используйте такой порядок:

1. Определите независимую переменную: обычно это $t$.
2. Разделите выражение на сумму простых слагаемых.
3. Примените правило константы, степени, синуса, косинуса, экспоненты или логарифма.
4. Сохраните постоянные множители.
5. Если внутри функции есть выражение с $t$, примените правило цепочки.
6. Проверьте единицы результата: для напряжения должна получиться величина в $V/s$.

Особенно часто встречаются следующие ошибки:

• Производная постоянной составляющей не равна ей самой.
  Верно:

  $$\frac{d}{dt}{U}_0=0$$

• В производной синусоиды нельзя забывать $\omega$.
  Неверно:

  $$\frac{d}{dt}\sin (\omega t)=\cos (\omega t)$$

  Верно:

  $$\frac{d}{dt}\sin (\omega t)=\omega \cos (\omega t)$$

• Производная косинуса содержит минус.

  $$\frac{d}{dt}\cos (\omega t)=-\omega \sin (\omega t)$$

• Производная описывает не значение сигнала.
  Если в точке $u(t)=0$, производная может быть очень большой. Для синусоиды как раз вблизи перехода через среднюю линию скорость изменения максимальна.

• Фаза не исчезает из аргумента.
  Для сигнала $\sin (\omega t+\phi )$ производная содержит тот же аргумент:

  $$\frac{d}{dt}\sin (\omega t+\phi )=\omega \cos (\omega t+\phi )$$

---

В этом уроке вы восстановили производную как мгновенную скорость изменения и наклон касательной. Главные формулы для радиосигналов:

$$\frac{d}{dt}\left[U_0+\hat{U}\sin (\omega t+\phi )\right]=\hat{U}\omega \cos (\omega t+\phi )$$ $${\left|\frac{du}{dt}\right|}_{\max }=\hat{U}\omega =2\pi f\hat{U}$$

Производная подавляет постоянную составляющую, показывает направление изменения сигнала и подчёркивает быстрые фронты. В следующем уроке мы рассмотрим интеграл — обратную идею: как из скорости изменения получить накопленную величину и как интерпретировать площадь под графиком сигнала.