Параметры синусоиды по формуле и графику

Здравствуйте! В предыдущем уроке мы связали угол на единичной окружности с координатами $\cos \theta$ и $\sin \theta$, а также закрепили радианы. Теперь эта геометрия превращается в язык радиотехники: напряжение, ток или цифровой отсчёт во времени часто описываются синусоидой.

К концу урока вы сможете извлекать из формулы и графика синусоиды её амплитуду, период, частоту и начальную фазу; отличать фазовый сдвиг от временной задержки; а также не путать частоту $f$ с круговой частотой $\omega$.

---

Синусоида как проекция вращения

Представим вектор единичной длины, вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью. Его вертикальная координата меняется плавно от $0$ до $1$, затем до $-1$ и снова возвращается к нулю. Это и есть синусоида.

Если угол вектора в момент времени $t$ равен

$$\alpha (t)=\omega t+\phi$$

то вертикальная проекция равна

$$\sin (\omega t+\phi )$$

Здесь:

• $\omega t$ описывает поворот, накопленный за время $t$;
• $\phi$ задаёт положение вектора в момент $t=0$, то есть начальную фазу;
• полный оборот составляет $2\pi$ радиан.

Поэтому за время одного периода $T$ фаза должна увеличиться ровно на $2\pi$:

$$\omega T=2\pi$$

Отсюда следует важная связь:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

Поскольку частота — число полных циклов за секунду,

$$f=\frac{1}{T}$$

получаем:

$$\omega =2\pi f$$

Частота $f$ измеряется в герцах:

$$1\mathrm{Hz}=1{\mathrm{s}}^{-1}$$

а круговая частота $\omega$ — в радианах в секунду:

$$rad/s$$

Они описывают одну и ту же скорость колебаний, но в разных единицах. Частота отвечает на вопрос «сколько циклов за секунду?», а круговая частота — «на сколько радиан меняется фаза за секунду?».

---

Рабочая формула сигнала

Для напряжения удобно использовать общий вид:

$$u(t)=U_0+\hat{U}\sin (2\pi ft+\phi )$$

Равнозначная запись через круговую частоту:

$$u(t)=U_0+\hat{U}\sin (\omega t+\phi )$$

где

$$\omega =2\pi f$$

В этой формуле каждый параметр управляет отдельным физическим свойством сигнала.

Параметр	Смысл	Как проявляется на графике
$U_0$	постоянная составляющая, или DC offset	положение средней линии
$\hat{U}$	амплитуда, пиковое значение переменной части	расстояние от средней линии до пика
$f$	частота	число циклов в секунду
$T$	период	время одного полного цикла
$\omega$	круговая частота	скорость изменения фазы в $rad/s$
$\phi$	начальная фаза	сдвиг синусоиды относительно опорного сигнала

Амплитуда и пик-пиковое значение

Амплитуда $\hat{U}$ — не высота графика от нижнего пика до верхнего. Это расстояние от средней линии до одного пика:

$$\hat{U}=U_{\max }-U_0$$

или

$$\hat{U}=U_0-U_{\min }$$

Если известны максимальное и минимальное значения, то:

$$U_0=\frac{U_{\max }+U_{\min }}{2}$$ $$\hat{U}=\frac{U_{\max }-U_{\min }}{2}$$

Полная высота от минимума до максимума называется размахом, или пик-пиковым значением:

$$U_{\mathrm{pp}}=U_{\max }-U_{\min }=2\hat{U}$$

для синусоиды.

Например, если сигнал меняется от $-1\mathrm{V}$ до $7\mathrm{V}$, то:

$$U_0=\frac{7+(-1)}{2}=3\mathrm{V}$$ $$\hat{U}=\frac{7-(-1)}{2}=4\mathrm{V}$$ $$U_{\mathrm{pp}}=8\mathrm{V}$$

Следовательно, синусоидальная составляющая имеет амплитуду $4\mathrm{V}$, а не $7\mathrm{V}$ и не $8\mathrm{V}$.

---

Период, частота и масштаб времени

Период $T$ — минимальный интервал времени, через который сигнал повторяется. На графике его надёжно измерять между двумя соседними точками в одинаковом состоянии, например:

• между двумя максимумами;
• между двумя минимумами;
• между двумя переходами через среднюю линию в одном направлении.

Последняя оговорка существенна. Два соседних пересечения средней линии разделены половиной периода, если в одном месте кривая идёт вверх, а в другом вниз.

Когда период найден, частота определяется как:

$$f=\frac{1}{T}$$

Например, для периода

$$T=4\mathrm{ms}=4\cdot 10^{-3}\mathrm{s}$$

частота равна:

$$f=\frac{1}{4\cdot 10^{-3}}=250\mathrm{Hz}$$

Круговая частота:

$$\omega =2\pi \cdot 250=500\pi rad/s$$

При работе с радиосигналами шкала времени часто будет микросекундной или наносекундной. Перевод в секунды перед вычислением частоты обязателен:

$$1\mathrm{ms}=10^{-3}\mathrm{s}$$ $$1\mu \mathrm{s}=10^{-6}\mathrm{s}$$ $$1\mathrm{ns}=10^{-9}\mathrm{s}$$

---

Как читать параметры из формулы

Рассмотрим сигнал:

$$u(t)=1.5+4\sin \left(2\pi \cdot 250000t-\frac{\pi }{3}\right)$$

Единицей напряжения здесь считаем вольты, а $t$ измеряется в секундах.

Сравниваем с шаблоном:

$$u(t)=U_0+\hat{U}\sin (2\pi ft+\phi )$$

и читаем параметры непосредственно:

$$U_0=1.5\mathrm{V}$$ $$\hat{U}=4\mathrm{V}$$ $$f=250000\mathrm{Hz}=250\mathrm{kHz}$$ $$\phi =-\frac{\pi }{3}=-60^{\circ }$$

Период равен:

$$T=\frac{1}{250000}=4\mu \mathrm{s}$$

Круговая частота:

$$\omega =2\pi f=500000\pi rad/s$$

Максимум и минимум сигнала можно найти без подстановки времени. Синус меняется в пределах от $-1$ до $1$, поэтому:

$$u_{\max }=U_0+\hat{U}=1.5+4=5.5\mathrm{V}$$ $$u_{\min }=U_0-\hat{U}=1.5-4=-2.5\mathrm{V}$$

Отрицательный коэффициент перед синусом

Если сигнал записан так:

$$u(t)=-3\sin (2\pi ft)$$

амплитуда всё равно положительна:

$$\hat{U}=3$$

Минус означает отражение относительно средней линии: при $t=0$ сигнал начинает двигаться вниз, а не вверх.

При необходимости отрицательный коэффициент можно включить в фазу:

$$-\hat{U}\sin (\omega t)=\hat{U}\sin (\omega t+\pi )$$

В инженерной практике полезно считать амплитуду неотрицательной, а направление начального движения учитывать через фазу.

---

Фаза и временной сдвиг

Фаза отвечает на вопрос: в какой точке цикла находится сигнал в выбранный момент времени?

Для опорной синусоиды

$$u_{\mathrm{ref}}(t)=\hat{U}\sin (\omega t)$$

в момент $t=0$:

$$u_{\mathrm{ref}}(0)=0$$

и кривая идёт вверх.

Если добавить положительную фазу,

$$u(t)=\hat{U}\sin (\omega t+\phi )$$

то сигнал проходит те же состояния раньше опорного. На графике он сдвигается влево и считается опережающим.

Если фаза отрицательна, то сигнал приходит к тем же состояниям позже: он сдвинут вправо и запаздывает.

Пусть сигнал сдвинут относительно опорного на время $\Delta t$, причём $\Delta t>0$ означает опережение. Тогда:

$$\phi =2\pi \frac{\Delta t}{T}$$

или, поскольку $\omega =2\pi /T$,

$$\phi =\omega \Delta t$$

Если удобнее говорить именно о задержке $\tau >0$, используют форму:

$$u(t)=\hat{U}\sin \left(\omega (t-\tau )\right)$$

После раскрытия скобок:

$$u(t)=\hat{U}\sin (\omega t-\omega \tau )$$

Следовательно,

$$\phi =-\omega \tau$$

То есть положительная временная задержка соответствует отрицательной фазе.

Пример: фаза в формуле

Вернёмся к сигналу:

$$u(t)=1.5+4\sin \left(2\pi \cdot 250000t-\frac{\pi }{3}\right)$$

Его фаза:

$$\phi =-\frac{\pi }{3}$$

Это составляет такую долю полного цикла:

$$\frac{\left|\phi \right|}{2\pi }=\frac{\pi /3}{2\pi }=\frac{1}{6}$$

Поэтому сигнал задержан на одну шестую периода:

$$\tau =\frac{T}{6}=\frac{4\mu \mathrm{s}}{6}\approx 0.667\mu \mathrm{s}$$

Важно: фаза не уникальна. Значения

$$\phi$$

и

$$\phi +2\pi k$$

где $k$ — любое целое число, описывают одну и ту же синусоиду. Например:

$$-\frac{\pi }{3}$$

и

$$\frac{5\pi }{3}$$

эквивалентны. Обычно фазу приводят к одному привычному интервалу, например от $-\pi$ до $\pi$, или от $0$ до $2\pi$.

---

Как определить параметры по графику

Рассмотрим график, с которого удалось считать следующие данные:

• максимальное значение равно $7\mathrm{V}$;
• минимальное значение равно $-1\mathrm{V}$;
• соседние максимумы расположены при $t=1.5\mathrm{ms}$ и $t=5.5\mathrm{ms}$;
• сигнал пересекает среднюю линию вверх при $t=0.5\mathrm{ms}$.

1. Находим среднюю линию и амплитуду

$$U_0=\frac{7+(-1)}{2}=3\mathrm{V}$$ $$\hat{U}=\frac{7-(-1)}{2}=4\mathrm{V}$$

2. Находим период и частоту

$$T=5.5\mathrm{ms}-1.5\mathrm{ms}=4\mathrm{ms}$$ $$f=\frac{1}{4\cdot 10^{-3}}=250\mathrm{Hz}$$

3. Находим фазу

Для синусоиды с положительной амплитудой переход средней линии вверх соответствует условию:

$$\omega t+\phi =0$$

с точностью до полного числа оборотов.

Здесь переход произошёл при:

$$t_{\uparrow }=0.5\mathrm{ms}$$

Поэтому:

$$\phi =-\omega t_{\uparrow }$$

Можно вычислить фазу через долю периода:

$$\phi =-2\pi \frac{0.5\mathrm{ms}}{4\mathrm{ms}}=-\frac{\pi }{4}$$

Итоговая формула:

$$u(t)=3+4\sin \left(2\pi \cdot 250t-\frac{\pi }{4}\right)$$

где $u(t)$ измеряется в вольтах, а $t$ — в секундах.

Эту же кривую можно описать через косинус:

$$u(t)=3+4\cos \left(2\pi \cdot 250t-\frac{3\pi }{4}\right)$$

Обе записи верны. Фаза всегда относится к выбранной опорной форме: синусу или косинусу. Поэтому нельзя сравнивать числа фаз, не уточнив, какая именно форма используется.

---

Надёжный алгоритм для графика

Когда перед вами осциллограмма или построенный график, придерживайтесь одного порядка.

1. Прочитайте шкалы и единицы.
   Убедитесь, что горизонтальная ось — время, а вертикальная — напряжение, ток или другая величина.

2. Найдите максимум и минимум.
   Это даёт среднюю линию:

   $$U_0=\frac{U_{\max }+U_{\min }}{2}$$

   и амплитуду:

   $$\hat{U}=\frac{U_{\max }-U_{\min }}{2}$$

3. Измерьте период $T$.
   Берите две последовательные одинаковые точки цикла: два пика, две впадины или два перехода через среднюю линию в одном направлении.

4. Вычислите частоту.

   $$f=\frac{1}{T}$$

5. Выберите опорную форму.
   Для записи через синус с положительной амплитудой ориентируйтесь на переход через среднюю линию вверх.

6. Определите фазу или временной сдвиг.
   Если такой переход происходит раньше $t=0$, фаза положительна; если позже, отрицательна.

7. Проверьте результат по характерным точкам.
   Подставьте время одного максимума или пересечения средней линии в полученную формулу. Значение и направление изменения должны совпадать с графиком.

---

Частые ошибки

Путать амплитуду с пик-пиковым значением.
Если размах равен $8\mathrm{V}$, амплитуда синусоиды равна $4\mathrm{V}$.

Забывать о постоянном смещении.
Сигнал, меняющийся от $-1\mathrm{V}$ до $7\mathrm{V}$, не имеет нулевой средней линии. Его DC offset равен $3\mathrm{V}$.

Смешивать $f$ и $\omega$.

$$f=250\mathrm{Hz}$$

не означает

$$\omega =250rad/s$$

Правильно:

$$\omega =2\pi \cdot 250=500\pi rad/s$$

Измерять половину периода между разными пересечениями.
Переход вниз и следующий переход вверх разделяет половина периода, а не полный период.

Считать фазу абсолютным свойством одиночного сигнала.
Фаза всегда зависит от выбора точки отсчёта времени и опорной синусоиды. На практике особенно важна разность фаз двух сигналов одинаковой частоты.

---

Теперь вы умеете читать синусоидальный сигнал в двух направлениях:

• из формулы извлекать $\hat{U}$, $T$, $f$, $\omega$ и $\phi$;
• по графику находить среднюю линию, амплитуду, период, частоту и временной или фазовый сдвиг;
• связывать фазу и задержку формулой

$$\phi =-\omega \tau$$

для задержанного сигнала.

В следующем уроке мы перейдём к производной: она позволит интерпретировать скорость изменения сигнала и подготовит почву для анализа токов и напряжений в реактивных элементах.