Определённый интеграл: вычисление, площадь и накопленная величина

Здравствуйте! В прошлом уроке производная описывала локальную скорость изменения сигнала: наклон его графика в конкретный момент. Интеграл рассматривает обратную сторону: он суммирует малые вклады за интервал и отвечает на вопрос, какое изменение накопилось.

Это особенно естественно для радиотехники: интеграл тока по времени даёт перенесённый заряд, а интеграл напряжения по времени имеет единицы $\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$ и встречается при описании импульсов и сигналов. Сегодня вы научитесь понимать определённый интеграл как знаковую площадь и накопленную величину, а также вычислять его для элементарных функций через первообразную.

---

От малых вкладов к определённому интегралу

Пусть ток меняется во времени и задан функцией $i(t)$. Разобьём интересующий интервал времени от $t=a$ до $t=b$ на очень короткие участки длительностью $\Delta t$. На одном таком участке ток можно приближённо считать постоянным, поэтому переносимый заряд приблизительно равен:

$$\Delta q\approx i(t_k)\Delta t$$

Если сложить вклады всех коротких участков, получится приближение полного перенесённого заряда:

$$\Delta q_1+\Delta q_2+\dots +\Delta q_n\approx \sum _{k=1}^{n}i(t_k)\Delta t$$

Чем мельче разбиение, тем точнее результат. В пределе эта сумма становится определённым интегралом:

$$\Delta q={\int }_a^{b}i(t)dt$$

В более общем виде:

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

Здесь:

• $f(x)$ — подынтегральная функция;
• $a$ — нижний предел;
• $b$ — верхний предел;
• $dx$ показывает, по какой переменной идёт накопление;
• всё выражение имеет одно числовое значение, а не является новой функцией.

Переменная под знаком интеграла — рабочая, или «немая», переменная. Например, записи

$${\int }_0^{T}i(t)dt$$

и

$${\int }_0^{T}i(\tau )d\tau$$

означают одно и то же. Однако если верхний предел сам зависит от времени, удобнее использовать $\tau$, чтобы не смешивать два назначения буквы $t$:

$$Q(t)={\int }_{t_0}^{t}i(\tau )d\tau$$

Функция $Q(t)$ показывает, какой суммарный заряд был перенесён с момента $t_0$ до текущего момента $t$.

---

Площадь — но с учётом знака

На обычном графике интеграл можно представить как площадь между кривой и горизонтальной осью. Но в математике и технике это знаковая площадь:

• участок выше оси даёт положительный вклад;
• участок ниже оси даёт отрицательный вклад;
• итогом является разность положительных и отрицательных вкладов.

Для синусоиды за полный период положительная и отрицательная площади одинаковы. Поэтому:

$${\int }_0^T\sin (\omega t)dt=0$$

Это не означает, что «ничего не происходило». Сигнал менялся, и площади по модулю были ненулевыми, но положительный вклад скомпенсирован отрицательным.

Для переменного тока такой результат имеет ясный смысл. Если через идеальный конденсатор проходит симметричный синусоидальный ток, заряд сначала накапливается на обкладках, а затем возвращается. За полный период чистое изменение заряда равно нулю.

Нужно различать два понятия:

Величина	Запись	Смысл
Знаковая площадь, или чистое накопление	${\int }_a^{b}f(x)dx$	Положительные и отрицательные вклады компенсируют друг друга
Полная геометрическая площадь	${\int }_a^b|f(x)|dx$	Все участки учитываются положительными

Например, для тока первая величина показывает чисто переданный заряд. Вторая могла бы характеризовать суммарное количество заряда, двигавшегося в обе стороны, но не его итоговое накопление.

---

Как вычислить интеграл точно: формула Ньютона—Лейбница

Сумма большого числа узких прямоугольников объясняет смысл интеграла, но вручную так считать неудобно. Практический способ вычисления использует связь с производной.

Если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, то есть

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

то справедлива формула Ньютона—Лейбница:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Её часто записывают компактно:

$${\int }_a^{b}f(x)dx={F(x)|}_a^b$$

Вертикальная черта означает один и тот же порядок действий:

1. найти первообразную $F(x)$;
2. подставить верхний предел $b$;
3. вычесть значение при нижнем пределе $a$.

Это продолжает прошлый урок напрямую: дифференцирование отвечает на вопрос «какова скорость изменения?», а интегрирование восстанавливает накопленное изменение.

Например, известно:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right)=t^2$$

Значит, для $t^2$ одна из первообразных:

$$F(t)=\frac{t^3}{3}$$

Следовательно:

$${\int }_1^3{t}^{2}dt={\frac{t^3}{3}|}_1^3$$ $$=\frac{3^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{26}{3}$$

При вычислении определённого интеграла не нужно писать $+C$. Постоянная всё равно сократится:

$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

---

Первобразные элементарных функций

Интегрирование базовых функций удобно учить как обратную таблицу производных.

Подынтегральная функция	Одна первообразная
$C$	$Ct$
$t^n$, где $n\ne -1$	$\frac{t^{n+1}}{n+1}$
$\sin t$	$-\cos t$
$\cos t$	$\sin t$
$e^t$	$e^t$
$\frac{1}{t}$	$\ln |t|$

Как и для производных, постоянный множитель сохраняется:

$${\int }_a^{b}Cf(t)dt=C{\int }_a^{b}f(t)dt$$

А сумма интегрируется по частям:

$${\int }_a^b[f(t)+g(t)]dt={\int }_a^{b}f(t)dt+{\int }_a^{b}g(t)dt$$

Особенно полезно правило степени:

$$\int t^{n}dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}$$

Здесь степень увеличивается на единицу, а затем появляется деление на новую степень. Например:

$$\int 6t^{2}dt=6\cdot \frac{t^3}{3}=2t^3$$

Быстрая проверка: производная $2t^3$ действительно равна $6t^2$.

---

Пример: интеграл напряжения

Пусть напряжение на некотором временном отрезке описано функцией:

$$u(t)=1+2t$$

где $u$ измеряется в вольтах, а $t$ — в секундах. Найдём его интеграл на интервале от $0$ до $3\mathrm{s}$:

$${\int }_0^3(1+2t)dt$$

Сначала строим первообразную:

$$\int (1+2t)dt=t+t^2$$

Теперь применяем границы:

$${\int }_0^3(1+2t)dt={\left(t+t^2\right)|}_0^3$$ $$=(3+9)-(0+0)=12$$

Поскольку интегрировали напряжение по времени, результат имеет единицы:

$$12\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$$

Геометрически это площадь трапеции под графиком $u(t)$. Но в инженерной записи полезнее прежде всего следить за размерностью: интеграл всегда умножает единицы подынтегральной величины на единицы переменной интегрирования.

---

Синусоида и накопленный заряд

Для радиотехники особенно важны интегралы синусоид. Здесь частота не исчезает: она появляется в знаменателе. Это естественно — чем быстрее колеблется ток, тем меньше заряда успевает накопиться за одну полуволну.

Поскольку:

$$\frac{d}{dt}\cos (\omega t)=-\omega \sin (\omega t)$$

получаем:

$$\int \sin (\omega t)dt=-\frac{1}{\omega }\cos (\omega t)$$

Аналогично:

$$\int \cos (\omega t)dt=\frac{1}{\omega }\sin (\omega t)$$

Рассмотрим ток:

$$i(t)=\hat{I}\cos (\omega t)$$

За первую четверть периода интервал времени равен:

$$0\le t\le \frac{T}{4}$$

где:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

Изменение заряда за этот интервал:

$$\Delta q={\int }_0^{T/4}\hat{I}\cos (\omega t)dt$$ $$={\frac{\hat{I}}{\omega }\sin (\omega t)|}_0^{T/4}$$

В верхней границе:

$$\omega \frac{T}{4}=\frac{\pi }{2}$$

Поэтому:

$$\Delta q=\frac{\hat{I}}{\omega }\left[\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin (0)\right]$$ $$\Delta q=\frac{\hat{I}}{\omega }$$

Если $\hat{I}$ задана в амперах, а $\omega$ в $rad/s$, результат получается в кулонах. Радиан безразмерен, поэтому размерностно:

$$\frac{\mathrm{A}}{{\mathrm{s}}^{-1}}=\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{C}$$

Именно эта связь будет нужна в следующем модуле для конденсатора:

$$q(t)=q(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}i(\tau )d\tau$$

Пока достаточно понимать её физический смысл: положительный ток увеличивает накопленный заряд, отрицательный уменьшает его.

---

Полезные свойства и проверка результата

При работе с кусочно заданными сигналами постоянно применяются три свойства.

Изменение направления интегрирования

Если поменять границы местами, знак меняется:

$${\int }_b^{a}f(t)dt=-{\int }_a^{b}f(t)dt$$

Это согласуется с идеей накопления: проход интервала в обратном направлении меняет знак результата.

Разбиение интервала

Интеграл можно вычислять по частям. Для любой точки $c$ внутри рассматриваемого интервала:

$${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{c}f(t)dt+{\int }_c^{b}f(t)dt$$

Это удобно, если сигнал меняет формулу или пересекает нулевой уровень в момент $c$.

Интеграл на нулевом интервале

$${\int }_a^{a}f(t)dt=0$$

Временной интервал отсутствует, поэтому и накопления нет.

Перед окончательным ответом полезно сделать три быстрые проверки:

1. Верный ли порядок подстановки? Всегда верхняя граница минус нижняя.
2. Согласуется ли знак с графиком? Если функция в основном ниже оси, интеграл скорее всего отрицателен.
3. Согласуются ли единицы?
   Для тока, интегрированного по времени, должны получиться кулоны. Для напряжения по времени — $\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$.

Типичная ошибка при интегрировании синусоиды — потерять множитель $\omega$ в знаменателе:

$$\int \sin (\omega t)dt\ne -\cos (\omega t)$$

Правильный результат:

$$\int \sin (\omega t)dt=-\frac{1}{\omega }\cos (\omega t)$$

Это можно проверить дифференцированием:

$$\frac{d}{dt}\left[-\frac{1}{\omega }\cos (\omega t)\right]=\sin (\omega t)$$

Как и в предыдущем уроке, тригонометрические аргументы должны быть заданы в радианах.

---

Итоги

Определённый интеграл:

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

представляет собой накопление малых вкладов функции на интервале. На графике он равен знаковой площади: области над осью положительны, области под осью отрицательны.

Для точного вычисления применяется формула Ньютона—Лейбница:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

где $F^{\prime }(x)=f(x)$. В радиотехническом контексте особенно важна связь:

$$\Delta q={\int }_a^{b}i(t)dt$$

то есть интеграл тока по времени равен перенесённому заряду.

В следующем уроке начнётся комплексное представление сигналов: вы восстановите операции с комплексными числами и переход между алгебраической и полярной формами. Это подготовит почву для компактного описания синусоидальных напряжений, токов и сопротивлений.