Перевод углов и значения синуса и косинуса на единичной окружности

Здравствуйте! В прошлом уроке мы различали степенные, экспоненциальные и логарифмические зависимости. Теперь переходим к математическому языку периодических процессов: углам, радианам и тригонометрии.

Для радиотехники это не формальная геометрия. Фаза синусоидального сигнала измеряется в радианах; позднее в выражениях вида $\sin (\omega t+\phi )$ именно угол определит мгновенное значение напряжения или тока. В этом уроке вы научитесь переводить градусы в радианы и обратно, а также получать $\sin$ и $\cos$ по единичной окружности, не полагаясь на калькулятор для стандартных углов.

---

Два способа измерить один поворот

Угол в градусах делит полный оборот на 360 равных частей:

$$\text{полный оборот}=360^{\circ }$$

Градусы удобны для человеческого восприятия: четверть оборота — $90^{\circ }$, половина — $180^{\circ }$. Но в физике и инженерной математике естественнее использовать радианы.

Радиан связан не с условным делением круга, а с длиной дуги. Пусть центральный угол $\theta$ опирается на дугу длиной $s$ в окружности радиуса $r$. Тогда его мера в радианах определяется так:

$$\theta =\frac{s}{r}$$

Один радиан — это угол, который вырезает дугу длиной, равной радиусу:

$$s=r$$

Так как длина полной окружности равна

$$2\pi r$$

то полный поворот в радианах составляет:

$$\theta =\frac{2\pi r}{r}=2\pi$$

Следовательно, ключевое соответствие:

$$360^{\circ }=2\pi$$

и, после деления на два,

$$180^{\circ }=\pi$$

Радиан безразмерен: это отношение двух длин. В инженерных записях иногда пишут «рад» для ясности, например $\omega$ в $rad/s$, но в формулах радиан обычно рассматривается как безразмерная величина.

---

Перевод между градусами и радианами

Из равенства

$$180^{\circ }=\pi$$

получаются два коэффициента перевода.

Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на:

$$\frac{\pi }{180^{\circ }}$$

То есть:

$${\theta }_{\mathrm{rad}}={\theta }_{\mathrm{deg}}\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}$$

Чтобы перевести радианы в градусы, умножьте на:

$$\frac{180^{\circ }}{\pi }$$

То есть:

$${\theta }_{\mathrm{deg}}={\theta }_{\mathrm{rad}}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$$

Из градусов в радианы

Переведём $150^{\circ }$:

$$150^{\circ }\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$$

Значит,

$$150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$$

Переведём отрицательный угол $-45^{\circ }$:

$$-45^{\circ }\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}=-\frac{\pi }{4}$$

Следовательно,

$$-45^{\circ }=-\frac{\pi }{4}$$

Знак сохраняется: отрицательный угол по-прежнему измеряется по часовой стрелке.

Из радиан в градусы

Переведём:

$$\frac{3\pi }{2}$$

в градусы:

$$\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=3\cdot 90^{\circ }=270^{\circ }$$

Значит,

$$\frac{3\pi }{2}=270^{\circ }$$

Ещё один полезный пример:

$$\frac{7\pi }{3}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=7\cdot 60^{\circ }=420^{\circ }$$

Угол $420^{\circ }$ содержит полный поворот $360^{\circ }$ и ещё $60^{\circ }$. Поэтому его конечная сторона совпадает с конечной стороной угла $60^{\circ }$.

Опорные углы, которые стоит знать сразу

Градусы	Радианы	Положение
$0^{\circ }$	$0$	положительная ось $x$
$30^{\circ }$	$\frac{\pi }{6}$	I четверть
$45^{\circ }$	$\frac{\pi }{4}$	I четверть
$60^{\circ }$	$\frac{\pi }{3}$	I четверть
$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	положительная ось $y$
$180^{\circ }$	$\pi$	отрицательная ось $x$
$270^{\circ }$	$\frac{3\pi }{2}$	отрицательная ось $y$
$360^{\circ }$	$2\pi$	снова положительная ось $x$

Не следует превращать $\pi$ в $3.14$, если задача допускает точный ответ. Например, лучше оставить результат как

$$\frac{5\pi }{6}$$

а не записывать его десятичное приближение. Точная форма сохраняет связь с единичной окружностью и стандартными значениями синуса и косинуса.

---

Единичная окружность: от координат к синусу и косинусу

Рассмотрим окружность радиуса $1$ с центром в начале координат. Это и есть единичная окружность.

Угол $\theta$ откладывается от положительной оси $x$. Конечная сторона угла пересекает окружность в некоторой точке:

$$(x,y)$$

Для любой точки единичной окружности выполняется уравнение:

$$x^2+y^2=1$$

Главное правило урока:

$$\cos \theta =x$$ $$\sin \theta =y$$

Иными словами:

• косинус — горизонтальная координата точки;
• синус — вертикальная координата точки.

Это определение согласуется с тригонометрией прямоугольного треугольника. В обычном треугольнике:

$$\cos \theta =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$ $$\sin \theta =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

На единичной окружности гипотенуза, то есть радиус, равна единице. Поэтому деление на радиус ничего не меняет: катеты становятся непосредственно координатами $x$ и $y$.

---

Стандартные значения в первой четверти

Достаточно надёжно знать три пары значений для первой четверти. Остальные значения на окружности получаются из них сменой знаков.

Угол	Радианы	$\cos \theta$	$\sin \theta$	Точка
$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	$(1,0)$
$30^{\circ }$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$
$45^{\circ }$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$60^{\circ }$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$90^{\circ }$	$\frac{\pi }{2}$	$0$	$1$	$(0,1)$

Откуда берётся угол $45^{\circ }$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Если гипотенуза равна $1$, то каждый катет равен:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Поэтому:

$$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Откуда берутся $30^{\circ }$ и $60^{\circ }$

У треугольника с углами $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ стороны относятся как:

$$1:\sqrt{3}:2$$

Если гипотенуза равна $1$, все длины нужно разделить на $2$. Поэтому для угла $30^{\circ }$:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Для угла $60^{\circ }$ эти значения меняются местами:

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$ $$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Удобная мнемоника для первой четверти: значения синуса растут при движении от $0^{\circ }$ к $90^{\circ }$, а значения косинуса убывают.

---

Остальные четверти: те же числа, другие знаки

Чтобы найти синус и косинус угла вне первой четверти, не нужно заново выводить значения. Следует:

1. определить четверть;
2. найти острый опорный угол;
3. взять значения для этого угла из первой четверти;
4. назначить знаки по координатам точки.

Четверть	Знак $\cos \theta$, то есть $x$	Знак $\sin \theta$, то есть $y$
I	$+$	$+$
II	$-$	$+$
III	$-$	$-$
IV	$+$	$-$

Например, угол

$$150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$$

лежит во второй четверти. Его опорный угол равен:

$$180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$

Для $30^{\circ }$ координаты в первой четверти:

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$$

Во второй четверти $x$ отрицателен, а $y$ положителен:

$$\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Рассмотрим угол:

$$315^{\circ }=\frac{7\pi }{4}$$

Он находится в четвёртой четверти и на $45^{\circ }$ ниже положительной оси $x$. Значит, используются значения угла $45^{\circ }$, но у синуса отрицательный знак:

$$\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Наконец, отрицательный угол:

$$-120^{\circ }$$

можно заменить сонаправленным положительным углом:

$$-120^{\circ }+360^{\circ }=240^{\circ }$$

Угол $240^{\circ }$ лежит в третьей четверти; его опорный угол равен $60^{\circ }$. В третьей четверти обе координаты отрицательны:

$$\cos (-120^{\circ })=-\frac{1}{2}$$ $$\sin (-120^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

---

Рабочий алгоритм

При решении задачи полезно действовать в одном и том же порядке.

Если дан угол в градусах или радианах

1. При необходимости переведите его в нужную единицу.
2. Определите, где находится конечная сторона: на оси или в одной из четырёх четвертей.
3. Если угол не стандартный, замените его сонаправленным в пределах одного полного оборота.
4. Найдите опорный угол: обычно это $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ или $60^{\circ }$.
5. Возьмите модуль значений синуса и косинуса для опорного угла.
6. Назначьте знаки по четверти.
7. Помните: $\cos \theta$ — это $x$, а $\sin \theta$ — это $y$.

Быстрая самопроверка

У точки на единичной окружности обязательно должно выполняться:

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

Например, для угла $\frac{5\pi }{6}$:

$${\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Также проверяйте знаки. Для угла во второй четверти синус не может быть отрицательным, а косинус не может быть положительным.

---

Связь с будущими сигналами

В следующем уроке синусоида будет записываться, например, так:

$$u(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

Здесь выражение внутри косинуса должно быть углом в радианах. Значение $\omega t+\phi$ определяет точку на единичной окружности, а значит — мгновенное значение нормированной синусоиды. Амплитуда $A$ затем масштабирует это значение до напряжения, тока или иной физической величины.

---

Вы освоили три опорные идеи:

• полный оборот равен одновременно $360^{\circ }$ и $2\pi$;
• для перевода из градусов в радианы используется множитель $\frac{\pi }{180^{\circ }}$, а обратно — $\frac{180^{\circ }}{\pi }$;
• на единичной окружности

$$\cos \theta =x,\sin \theta =y$$

где $(x,y)$ — координаты конечной точки угла.

В следующем уроке мы применим эти навыки к синусоидальному сигналу: научимся находить по формуле и графику амплитуду, период, частоту и фазу.