Сложение синусоидальных колебаний методом комплексных амплитуд

Здравствуйте! В прошлом уроке вы научились представлять комплексное число в формах $a+jb$ и $r\angle \phi$, а также выбирать прямоугольную форму для сложения и полярную — для умножения и деления. Теперь эти же идеи получают прямой физический смысл: комплексное число будет кодировать амплитуду и начальную фазу синусоидального напряжения или тока.

Цель урока — научиться записывать гармоническое колебание через комплексную экспоненту, правильно понимать комплексную амплитуду (фазор) и складывать синусоиды одной частоты обычным сложением комплексных чисел. Это основной приём, на котором позднее будут строиться расчёты цепей переменного тока, частотных характеристик и квадратурных сигналов.

---

Формула Эйлера: вращение вместо громоздкой тригонометрии

Формула Эйлера связывает экспоненту с синусом и косинусом:

$$e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$$

В математике обычно пишут $i$, но в радиотехнике и электротехнике используем $j$, чтобы не путать мнимую единицу с током $i(t)$.

У комплексного числа $e^{j\phi }$ модуль всегда равен единице:

$$\left|e^{j\phi }\right|=1$$

Меняется только угол. При увеличении $\phi$ кончик вектора движется по единичной окружности против часовой стрелки.

Если угол зависит от времени,

$$\phi (t)=\omega t+\psi$$

то получаем вращающийся вектор:

$$e^{j(\omega t+\psi )}$$

Здесь:

• $\omega$ — круговая частота в $rad/s$;
• $t$ — время в секундах;
• $\psi$ — начальная фаза;
• произведение $\omega t$ безразмерно и выражает угол в радианах.

Действительная часть вращающегося вектора — косинус:

$$\mathrm{Re}\left\{e^{j(\omega t+\psi )}\right\}=\cos (\omega t+\psi )$$

Мнимая часть — синус:

$$\mathrm{Im}\left\{e^{j(\omega t+\psi )}\right\}=\sin (\omega t+\psi )$$

Таким образом, синусоида не исчезает и не становится «комплексной физически». Комплексная запись — это более удобная модель: реальный измеряемый сигнал получается проекцией вращающегося вектора на действительную ось.

---

Комплексная амплитуда и соглашение о фазоре

Рассмотрим напряжение:

$$u(t)=U_m\cos (\omega t+\psi )$$

где $U_m$ — пиковая амплитуда.

Вынесем постоянную амплитуду и фазу в одно комплексное число:

$$\underline{U}=U_m{e}^{j\psi }$$

Это число называют комплексной амплитудой или фазором. В полярной форме оно записывается особенно наглядно:

$$\underline{U}=U_m\angle \psi$$

Тогда исходное действительное напряжение восстанавливается так:

$$u(t)=\mathrm{Re}\left\{\underline{U}{e}^{j\omega t}\right\}$$

В этой записи роли множителей чётко разделены:

$$\underline{U}=U_m{e}^{j\psi }$$

хранит амплитуду и начальную фазу, а

$$e^{j\omega t}$$

создаёт общее для всех сигналов данной частоты вращение во времени.

Например, для сигнала

$$u(t)=5\cos \left(2000\pi t-30^{\circ }\right)\mathrm{V}$$

круговая частота равна:

$$\omega =2000\pi rad/s$$

а комплексная амплитуда равна:

$$\underline{U}=5e^{-j30^{\circ }}$$

или:

$$\underline{U}=5\angle (-30^{\circ })\mathrm{V}$$

Полное комплексное колебание можно записать как:

$$\underline{u}(t)=\underline{U}{e}^{j\omega t}$$

Но физическое напряжение — только его действительная часть:

$$u(t)=\mathrm{Re}\left\{\underline{u}(t)\right\}$$

Важно не смешивать эти два объекта:

• $\underline{U}$ — не зависит от времени; это фазор;
• $\underline{u}(t)$ — вращающаяся комплексная величина;
• $u(t)$ — реальный мгновенный сигнал.

---

Почему в учебниках иногда появляется множитель $1/2$

Формулу косинуса можно получить как сумму двух комплексно-сопряжённых вращений:

$$\cos \alpha =\frac{e^{j\alpha }+e^{-j\alpha }}{2}$$

Поэтому тот же сигнал можно записать полностью через две экспоненты:

$$u(t)=\frac{\underline{U}}{2}{e}^{j\omega t}+\frac{{\underline{U}}^{\ast }}{2}{e}^{-j\omega t}$$

где звёздочка означает комплексное сопряжение.

Эта форма подчёркивает важное свойство: действительный косинус содержит две частотные компоненты, соответствующие вращениям в противоположных направлениях. Их мнимые части взаимно компенсируются, поэтому результат остаётся вещественным.

В ряде источников комплексной амплитудой называют не $\underline{U}$, а величину:

$$X=\frac{\underline{U}}{2}$$

Тогда пишут:

$$u(t)=X{e}^{j\omega t}+X^{\ast }{e}^{-j\omega t}$$

Оба соглашения верны. В дальнейшем в этом курсе будем придерживаться более распространённого инженерного соглашения:

$$u(t)=\mathrm{Re}\left\{\underline{U}{e}^{j\omega t}\right\}$$

где модуль фазора $\left|\underline{U}\right|$ равен пиковой амплитуде синусоиды.

Для закрепления связи между формулой Эйлера, полной двухэкспоненциальной формой и компактной фазорной записью прочитайте фрагмент конспекта MIT.

---

Косинус, синус и выбор единого соглашения

Фазорная запись особенно проста, когда все колебания приведены к форме косинуса.

Для косинуса:

$$A\cos (\omega t+\phi )=\mathrm{Re}\left\{A{e}^{j\phi }{e}^{j\omega t}\right\}$$

Следовательно, его фазор:

$$\underline{X}=A\angle \phi$$

Синус лучше сначала переписать как косинус:

$$\sin \alpha =\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$$

Поэтому:

$$A\sin (\omega t+\phi )=A\cos \left(\omega t+\phi -\frac{\pi }{2}\right)$$

и соответствующая комплексная амплитуда:

$$\underline{X}=A{e}^{j\left(\phi -\frac{\pi }{2}\right)}$$

Можно вынести этот сдвиг отдельно:

$$\underline{X}=-jA{e}^{j\phi }$$

Например:

$$i(t)=2\sin (\omega t+20^{\circ })\mathrm{A}$$

приводим к косинусу:

$$i(t)=2\cos (\omega t-70^{\circ })\mathrm{A}$$

Поэтому:

$$\underline{I}=2\angle (-70^{\circ })\mathrm{A}$$

Ошибка, которую стоит исключить заранее: нельзя складывать фазоры, если часть сигналов представлена по косинусу, а часть по синусу, без учёта сдвига на $90^{\circ }$. Сначала все выражения должны быть записаны в одном соглашении.

---

Сложение синусоид одной частоты

Пусть имеются несколько напряжений с одной и той же круговой частотой:

$$u_k(t)=\mathrm{Re}\left\{{\underline{U}}_k{e}^{j\omega t}\right\}$$

Их сумма:

$$u_{\Sigma }(t)=\sum _k{u}_k(t)$$

Поскольку операция взятия действительной части линейна, общий временной множитель можно вынести:

$$u_{\Sigma }(t)=\mathrm{Re}\left\{\left(\sum _k{\underline{U}}_k\right)e^{j\omega t}\right\}$$

Значит, достаточно сложить комплексные амплитуды:

$${\underline{U}}_{\Sigma }=\sum _k{\underline{U}}_k$$

Если результат записан как:

$${\underline{U}}_{\Sigma }=U_{\Sigma m}\angle {\psi }_{\Sigma }$$

то итоговое колебание равно:

$$u_{\Sigma }(t)=U_{\Sigma m}\cos (\omega t+{\psi }_{\Sigma })$$

Это и есть метод комплексных амплитуд.

Ключевое условие метода: у всех слагаемых должна быть одна частота $\omega$. Если частоты различны, например $1\mathrm{kHz}$ и $1.2\mathrm{kHz}$, одной комплексной амплитудой их сумму описать нельзя: получится уже не одна синусоида, а сигнал с биениями.

Короткое видео хорошо показывает геометрическую сторону этого факта: фазоры одной частоты вращаются синхронно, поэтому их векторная сумма также вращается с той же угловой скоростью.

---

Полный расчёт: две синусоиды с разными фазами

Сложим два напряжения одинаковой частоты:

$$u_1(t)=4\cos (\omega t+30^{\circ })\mathrm{V}$$ $$u_2(t)=3\cos (\omega t-60^{\circ })\mathrm{V}$$

1. Записываем фазоры

$${\underline{U}}_1=4\angle 30^{\circ }$$ $${\underline{U}}_2=3\angle (-60^{\circ })$$

2. Переходим в прямоугольную форму

Для первого напряжения:

$${\underline{U}}_1=4\left(\cos 30^{\circ }+j\sin 30^{\circ }\right)$$ $${\underline{U}}_1=2\sqrt{3}+j2$$

Для второго:

$${\underline{U}}_2=3\left(\cos (-60^{\circ })+j\sin (-60^{\circ })\right)$$ $${\underline{U}}_2=1.5-j\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

3. Складываем действительные и мнимые части

$${\underline{U}}_{\Sigma }={\underline{U}}_1+{\underline{U}}_2$$ $${\underline{U}}_{\Sigma }=\left(2\sqrt{3}+1.5\right)+j\left(2-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$

Численно:

$${\underline{U}}_{\Sigma }\approx 4.964-j0.598\mathrm{V}$$

4. Находим модуль и фазу результата

$$\left|{\underline{U}}_{\Sigma }\right|=\sqrt{4.964^2+(-0.598{)}^2}$$ $$\left|{\underline{U}}_{\Sigma }\right|=5\mathrm{V}$$ $${\psi }_{\Sigma }=atan2(-0.598,4.964)$$ $${\psi }_{\Sigma }\approx -6.87^{\circ }$$

Итоговая комплексная амплитуда:

$${\underline{U}}_{\Sigma }=5\angle (-6.87^{\circ })\mathrm{V}$$

Следовательно:

$$u_{\Sigma }(t)=5\cos (\omega t-6.87^{\circ })\mathrm{V}$$

Амплитуда результата $5\mathrm{V}$ не равна ни $4+3$, ни $4-3$. Фазы дают частичное конструктивное и частичное деструктивное сложение.

Для двух фазоров с амплитудами $A_1$, $A_2$ и разностью фаз $\Delta \phi$ модуль суммы можно проверить общей формулой:

$$A_{\Sigma }=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \phi )}$$

В нашем примере:

$$\Delta \phi =30^{\circ }-(-60^{\circ })=90^{\circ }$$

Поэтому:

$$A_{\Sigma }=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{V}$$

Это частный, но полезный случай: фазоры ортогональны, и работает теорема Пифагора.

---

Предельные случаи как инженерская проверка

Полезно быстро оценивать ответ ещё до калькулятора.

Синфазные колебания. Если фазы одинаковы:

$$A_1\cos (\omega t+\phi )+A_2\cos (\omega t+\phi )$$

то амплитуды складываются:

$$A_{\Sigma }=A_1+A_2$$

Противофазные колебания. Если разность фаз равна $180^{\circ }$, то при равных амплитудах полное колебание компенсируется:

$$A\cos (\omega t)-A\cos (\omega t)=0$$

В фазорной форме:

$$A\angle 0^{\circ }+A\angle 180^{\circ }=0$$

Квадратурные колебания. Если разность фаз равна $90^{\circ }$, амплитуда суммы подчиняется теореме Пифагора:

$$A_{\Sigma }=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$$

Именно поэтому суммировать показания вольтметров или амперметров обычным сложением модулей в общем случае нельзя. Фазовая разность физически меняет результат.

---

Проверка расчёта в Python

NumPy умеет работать с комплексными числами непосредственно. Следующий код повторяет предыдущий расчёт, а затем проверяет, что сумма двух временных синусоид совпадает с синусоидой, восстановленной из итогового фазора.

import numpy as np

amplitudes = np.array([4.0, 3.0])
phases_deg = np.array([30.0, -60.0])
phases_rad = np.deg2rad(phases_deg)

phasors = amplitudes * np.exp(1j * phases_rad)
U_total = phasors.sum()

A_total = np.abs(U_total)
phase_total_deg = np.rad2deg(np.angle(U_total))

print(U_total)          # примерно 4.964 - 0.598j
print(A_total)          # 5.0
print(phase_total_deg)  # примерно -6.87

Для проверки во временной области:

f = 1000.0
omega = 2 * np.pi * f
t = np.linspace(0, 3 / f, 1000)

u_direct = (
    amplitudes[0] * np.cos(omega * t + phases_rad[0])
    + amplitudes[1] * np.cos(omega * t + phases_rad[1])
)

u_phasor = A_total * np.cos(omega * t + np.angle(U_total))

print(np.max(np.abs(u_direct - u_phasor)))

Последняя строка должна вывести число, очень близкое к нулю, порядка погрешности вычислений с плавающей точкой. Это не приближённый трюк: фазорное сложение и сложение мгновенных значений математически эквивалентны для синусоид общей частоты.

---

Почему метод станет особенно полезен в цепях

С комплексной экспонентой дифференцирование не меняет тип сигнала:

$$\frac{d}{dt}\left(\underline{U}{e}^{j\omega t}\right)=j\omega \underline{U}{e}^{j\omega t}$$

То есть производная сводится к умножению комплексной амплитуды на $j\omega$. Именно благодаря этому токи через конденсаторы и напряжения на катушках позднее можно будет описывать не дифференциальными уравнениями во времени, а алгебраическими операциями с комплексными сопротивлениями.

Пока достаточно удержать границу применимости: фазоры работают для установившихся синусоидальных процессов и объединяют только компоненты с одинаковой частотой.

---

Итоги

Формула Эйлера:

$$e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi$$

позволяет представить косинусоидальное колебание как действительную часть комплексной экспоненты:

$$u(t)=\mathrm{Re}\left\{\underline{U}{e}^{j\omega t}\right\}$$

При соглашении о пиковой комплексной амплитуде:

$$\underline{U}=U_m{e}^{j\psi }=U_m\angle \psi$$

модуль фазора равен пиковой амплитуде, а его аргумент — начальной фазе.

Чтобы сложить синусоиды одной частоты:

1. Приведите все сигналы к форме косинуса.
2. Запишите их комплексные амплитуды.
3. Переведите фазоры в прямоугольную форму.
4. Сложите действительные и мнимые части.
5. Переведите сумму обратно в полярную форму.
6. Восстановите итоговую синусоиду по модулю и фазе результата.

Этим завершается математический модуль. В следующем модуле начнётся применение базовой алгебры к электрическим цепям постоянного тока: законы Ома и Кирхгофа, напряжения и токи в линейных схемах.