Степенные, показательные и логарифмические функции: вычисление и графики

Здравствуйте! В прошлом уроке мы восстановили алгебраическую основу: как преобразовать формулу, выразить неизвестную и проверить ответ по единицам. Теперь перейдём от отдельных уравнений к функциям — зависимостям, которые описывают, как одна величина меняется при изменении другой.

Сегодня важны три семейства функций:

• степенные — например, зависимость мощности от напряжения;
• экспоненциальные — например, затухание сигнала или переходный процесс в цепи;
• логарифмические — математическая основа децибелов, с которыми мы встретимся в модуле о радиолиниях.

Цель урока: уверенно вычислять значения этих функций и отличать их графики. Ориентир по времени — около 40 минут, включая два коротких видео.

---

Что именно меняется: основание или показатель?

Запись со степенью может выглядеть похоже, но важно увидеть, где находится переменная.

Степенная функция

$$y=C{x}^p$$

Здесь $x$ — переменная в основании, $p$ — фиксированный показатель степени, а $C$ — постоянный коэффициент.

Примеры:

$$y=x^2$$ $$y=-3x^3$$ $$y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

В радиотехнике степенная зависимость встречается, например, в формуле мощности на резисторе:

$$P=\frac{V^2}{R}$$

Если сопротивление $R$ постоянно, то мощность $P$ как функция напряжения $V$ пропорциональна $V^2$. Это степенная, а не экспоненциальная зависимость.

Экспоненциальная функция

$$y=A{b}^x$$

Здесь $b$ — постоянное основание, а переменная $x$ находится в показателе. Для обычной вещественной экспоненты требуется:

$$b>0,b\ne 1$$

Примеры:

$$y=2^x$$ $$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$$ $$y=e^x$$

где

$$e\approx 2.71828$$

Экспоненциальная форма характерна для процессов, где за одинаковые интервалы аргумента величина меняется в одинаковое число раз, а не на одинаковую абсолютную величину.

Логарифмическая функция

$$y={\log }_{b}x$$

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести $b$, чтобы получить $x$?

Определение:

$${\log }_{b}x=y$$

тогда и только тогда, когда

$$b^y=x$$

Например:

$${\log }_{2}8=3$$

поскольку

$$2^3=8$$

Экспонента и логарифм с одинаковым основанием — взаимно обратные функции.

---

Степени: вычисления без ловушек

Начнём с базовых правил. Для ненулевого $x$:

$$x^0=1$$ $$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$$ $$x^m{x}^n=x^{m+n}$$ $$\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$$ $${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$$

Нулевой и отрицательный показатели

Например:

$$5^0=1$$ $$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$$ $$10^{-2}=\frac{1}{100}=0.01$$

Отрицательный показатель не делает результат отрицательным. Он означает, что степень оказывается в знаменателе.

Дробные показатели

Дробный показатель связывает степень с корнем:

$$x^{1/2}=\sqrt{x}$$ $$x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$$ $$x^{2/3}={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2$$

Например:

$$27^{2/3}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$$

В вещественных числах $\sqrt{x}$ определён только при $x\ge 0$. Поэтому график $y=\sqrt{x}$ начинается в начале координат и существует лишь справа от оси $y$.

Скобки при отрицательном основании

Скобки здесь принципиальны:

$$(-2{)}^4=16$$

Но выражение

$$-2^4$$

означает сначала вычислить $2^4$, а затем поставить минус:

$$-2^4=-(2^4)=-16$$

В технических расчётах такое различие особенно неприятно, когда в формуле есть отрицательное напряжение или знак фазы. Если отрицательное число является основанием степени, пишите его в скобках.

Степень суммы — не сумма степеней

Неверно:

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2$$

Правильно:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Например:

$$(2+3{)}^2=25$$

тогда как

$$2^2+3^2=13$$

Это правило пригодится позднее при работе с квадратами амплитуд и мощностей.

---

Как узнать степенную функцию по графику

Для базовых степенных функций особенно важны чётность или нечётность показателя.

Чётная положительная степень

Рассмотрим:

$$y=x^2,y=x^4,y=x^6$$

У всех трёх функций:

• область определения — все действительные $x$;
• значения неотрицательны:

$$y\ge 0$$

• график симметричен относительно оси $y$;
• график проходит через точку $(0,0)$.

На рисунке с чётными степенными функциями видны два полезных факта.

Во-первых, при

$$|x|<1$$

более высокая степень даёт меньшее значение. Например:

$$(0.5{)}^2=0.25$$ $$(0.5{)}^6=0.015625$$

Во-вторых, при

$$|x|>1$$

более высокая степень растёт быстрее:

$$2^2=4$$ $$2^6=64$$

Нечётная положительная степень

Рассмотрим:

$$y=x^3$$ $$y=x^5$$

Такие графики проходят через начало координат и симметричны относительно начала координат. При положительном $x$ значение положительно; при отрицательном $x$ значение отрицательно.

У функции

$$y=x^3$$

левый конец графика направлен вниз, а правый — вверх. Это главный визуальный признак положительной нечётной степени с положительным коэффициентом.

Отрицательная степень

Например:

$$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$$

Здесь нельзя подставлять

$$x=0$$

поскольку деление на ноль не определено. График распадается на две ветви и приближается к осям, но не пересекает их. Такие оси называют асимптотами графика.

---

Экспонента: постоянный множитель на каждом шаге

У экспоненциальной функции переменная находится в показателе:

$$y=b^x$$

Если увеличить $x$ на единицу, значение функции умножится на $b$:

$$b^{x+1}=b^{x}b$$

Именно это свойство делает экспоненту моделью многократного роста или затухания.

Сравним $x^2$ и $2^x$:

$x$	$x^2$	$2^x$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$2$
$2$	$4$	$4$
$3$	$9$	$8$
$4$	$16$	$16$
$5$	$25$	$32$

У функций могут совпадать отдельные точки, но механизм изменения совершенно разный:

• у $x^2$ показатель фиксирован, а основание меняется;
• у $2^x$ основание фиксировано, а показатель меняется;
• значения $2^x$ при каждом увеличении $x$ на 1 удваиваются.

Рост и спад

Если

$$b>1$$

то функция

$$y=b^x$$

возрастает. Например:

$$2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8$$

Если же

$$0<b<1$$

то функция убывает. Например:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1$$ $${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$$ $${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$ $${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$$

Независимо от основания $b$, если оно допустимо, график $b^x$:

• проходит через точку

$$(0,1)$$

потому что

$$b^0=1;$$

• всегда находится выше оси $x$:

$$b^x>0;$$

• не имеет пересечения с осью $x$;
• имеет горизонтальную асимптоту

$$y=0.$$

Экспонента в сигнале

Типовая форма экспоненциального затухания:

$$A(t)=A_0{e}^{-t/\tau }$$

Здесь $A_0$ — начальное значение, $t$ — время, а $\tau$ — постоянная времени. При

$$t=0$$

получаем:

$$A(0)=A_0$$

При

$$t=\tau$$

амплитуда становится равной:

$$A(\tau )=A_0{e}^{-1}\approx 0.368A_0$$

Аргумент экспоненты

$$-\frac{t}{\tau }$$

не имеет единиц измерения: секунды сокращаются. Это обязательное требование для показателей степени в физических формулах. По той же причине аргумент логарифма обычно является отношением двух величин одинаковой размерности.

---

Логарифмы: обратная операция к возведению в степень

Логарифм удобнее всего воспринимать не как новую формулу, а как обратный вопрос к экспоненте.

Если известно:

$$b^y=x$$

то:

$$y={\log }_{b}x$$

Например:

$$3^4=81$$

поэтому:

$${\log }_{3}81=4$$

Базовые значения

$${\log }_{b}1=0$$

потому что

$$b^0=1$$ $${\log }_{b}b=1$$

потому что

$$b^1=b$$

Несколько важных примеров:

$${\log }_{10}1000=3$$ $${\log }_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3$$ $$\ln (e^5)=5$$

Здесь

$$\ln x={\log }_{e}x$$

называется натуральным логарифмом.

Когда логарифм существует

В вещественных числах для

$${\log }_{b}x$$

нужны условия:

$$b>0,b\ne 1,x>0$$

Нельзя вычислить:

$${\log }_{10}0$$

или

$${\log }_{10}(-5)$$

в рамках вещественных чисел.

Полезные правила логарифмов

Для положительных $u$ и $v$:

$${\log }_b(uv)={\log }_{b}u+{\log }_{b}v$$ $${\log }_b\left(\frac{u}{v}\right)={\log }_{b}u-{\log }_{b}v$$ $${\log }_b(u^r)=r{\log }_{b}u$$

Например:

$${\log }_{10}(100\cdot 1000)={\log }_{10}100+{\log }_{10}1000=2+3=5$$

Это соответствует обычному вычислению:

$$100\cdot 1000=100000=10^5$$

На инженерном калькуляторе или в Python, если нет отдельной кнопки для нужного основания, используют замену основания:

$${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$$

Например:

$${\log }_{2}10=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3.322$$

Это означает, что двойку нужно возвести примерно в степень $3.322$, чтобы получить 10.

---

Как узнать логарифм по графику

График

$$y={\log }_{b}x$$

является отражением графика

$$y=b^x$$

относительно прямой

$$y=x$$

Поэтому у логарифмической функции меняются местами характерные точки экспоненты:

Тип функции	Характерная точка	Область определения	Асимптота
$y=b^x$	$(0,1)$	все действительные $x$	$y=0$
$y={\log }_{b}x$	$(1,0)$	$x>0$	$x=0$

Если

$$b>1$$

то логарифмический график возрастает. Если

$$0<b<1$$

то убывает.

Визуально логарифм можно узнать по трём признакам:

1. график существует только справа от оси $y$;
2. он пересекает ось $x$ в точке

$$(1,0);$$

3. он приближается к оси $y$, но не касается её.

---

Три функции в инженерной записи

Полезно научиться распознавать тип зависимости прямо по формуле, ещё до вычислений.

Формула	Тип	Что меняется характерным образом
$P(V)=\frac{V^2}{R}$	Степенная функция по $V$	Напряжение находится в основании, показатель фиксирован и равен 2
$A(t)=A_0{e}^{-t/\tau }$	Экспоненциальная функция по $t$	Время находится в показателе
$L(r)=10{\log }_{10}r$	Логарифмическая функция по $r$	Логарифм переводит отношение $r$ в более удобный масштаб

Последняя форма станет основой работы с децибелами. Пока достаточно видеть, что логарифм работает с положительным отношением:

$$r>0$$

Быстрый алгоритм распознавания графика

Когда видите незнакомый график, сначала проверьте несколько опорных признаков.

Степенная функция часто проходит через начало координат:

$$(0,0)$$

У чётных степеней две симметричные ветви, у нечётных — график проходит из нижней левой части в верхнюю правую.

Экспонента проходит через:

$$(0,1)$$

Она вся расположена выше оси $x$, а в одной стороне приближается к ней.

Логарифм проходит через:

$$(1,0)$$

Он существует только при положительном $x$ и имеет вертикальную асимптоту на оси $y$.

---

Вы восстановили три фундаментальных языка изменения величин:

• степень описывает зависимость вида $C{x}^p$, где переменная находится в основании;
• экспонента описывает постоянное умножение при одинаковых шагах аргумента и имеет вид $A{b}^x$;
• логарифм отвечает на вопрос о показателе степени и обращает экспоненциальную функцию;
• графики удобно узнавать по ключевым точкам: $(0,0)$ у базовых степенных функций, $(0,1)$ у экспоненты и $(1,0)$ у логарифма.

В следующем уроке перейдём к углам в градусах и радианах, единичной окружности и значениям синуса и косинуса. Это будет прямой вход в описание гармонических сигналов.