Расчёт длины полуволнового диполя и четвертьволнового монополя по рабочей частоте

Здравствуйте! В модуле об антеннах мы перейдём от мощности и распространения радиоволн к устройствам, которые преобразуют токи в проводниках в электромагнитное излучение и обратно. Начнём с наиболее практичного вопроса: как по рабочей частоте получить разумную первую оценку длины диполя или монополя.

К концу занятия вы сможете вычислять длину волны, полную длину полуволнового диполя, длину каждого его плеча и длину четвертьволнового монополя. Также будет понятно, почему результат расчёта служит начальной точкой, а не гарантированной окончательной длиной готовой антенны.

---

От частоты к длине волны

Антенна «настраивается» не на абстрактное число мегагерц, а на электромагнитную волну с определённой длиной. В воздухе скорость распространения близка к скорости света:

$$c\approx 3\cdot 10^{8}m/s$$

Длина волны связана с частотой так:

$$\lambda =\frac{c}{f}$$

где $f$ задана в герцах, а $\lambda$ получится в метрах.

Для радиотехнических расчётов удобнее использовать частоту в мегагерцах. Поскольку $1\mathrm{MHz}=10^6\mathrm{Hz}$, формула принимает особенно простой вид:

$$\lambda [\mathrm{m}]\approx \frac{300}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Например, на частоте $100\mathrm{MHz}$:

$$\lambda \approx \frac{300}{100}=3\mathrm{m}$$

Это базовое соотношение стоит запомнить: при увеличении частоты в два раза длина волны, а значит и характерные размеры резонансных антенн, уменьшаются в два раза.

Важно различать:

• электрическую длину — долю длины волны, например $\lambda /2$ или $\lambda /4$;
• физическую длину — реальную длину провода, трубки или печатного проводника;
• длину всей антенны и длину одного её элемента.

В первом приближении они прямо связаны. Но реальная физическая длина обычно несколько меньше идеальной электрической из-за формы проводника, его толщины, изоляции, близости земли и других предметов.

---

Полуволновой диполь: два плеча и центральная точка питания

Классический полуволновой диполь состоит из двух проводящих плеч, расположенных на одной прямой. Питание подаётся в середине, между плечами. Его общая электрическая длина примерно равна половине длины волны:

$$L_{\text{dipole, ideal}}=\frac{\lambda }{2}$$

Подставляя практическую формулу для длины волны, получаем:

$$L_{\text{dipole, ideal}}[\mathrm{m}]\approx \frac{150}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Каждое из двух плеч составляет четверть волны:

$$L_{\text{arm, ideal}}[\mathrm{m}]\approx \frac{75}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Именно здесь часто возникает ошибка: значение $150/f$ — это полная длина диполя, а не длина одного провода от точки питания до изолятора.

Пример: диполь на $14.2\mathrm{MHz}$

Сначала найдём длину волны:

$$\lambda \approx \frac{300}{14.2}=21.13\mathrm{m}$$

Идеальная общая длина диполя:

$$L_{\text{dipole, ideal}}\approx \frac{21.13}{2}=10.56\mathrm{m}$$

Длина одного плеча:

$$L_{\text{arm, ideal}}\approx \frac{10.56}{2}=5.28\mathrm{m}$$

То есть в модели свободного пространства это два плеча примерно по $5.28\mathrm{m}$.

Ниже — короткое практическое правило в британских единицах. Оно полезно не как замена основному расчёту, а как способ сверить порядок величин: автор называет $234/f$ футов длиной одного плеча диполя либо четвертьволнового вертикала. Это уже эмпирическая, несколько укороченная оценка физического проводника.

В метрах это правило для одного плеча приблизительно равно:

$$L_{\text{arm}}\approx \frac{71.3}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Оно немного меньше идеального значения $75/f$, поскольку ориентировано на типичную физическую антенну, а не на идеальный проводник в свободном пространстве.

---

Почему расчётная длина не является окончательной

Полуволновым называют электрический резонанс. У реальной проволочной антенны распределённые ёмкость и индуктивность у концов проводника меняют её электрическую длину. Это называют концевым эффектом.

Как следствие, физический полуволновой диполь обычно делают короче, чем $\lambda /2$. Для тонких проводных диполей часто используют коэффициент $A$ порядка $0.96$–$0.98$:

$$L_{\text{dipole, start}}\approx A\cdot \frac{150}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Например, при $A=0.97$ и $f=14.2\mathrm{MHz}$:

$$L_{\text{dipole, start}}\approx 0.97\cdot 10.56=10.24\mathrm{m}$$

Соответственно, начальная длина одного плеча будет около $5.12\mathrm{m}$.

Но коэффициент не является универсальной константой. На резонанс влияют:

• диаметр провода или трубки;
• материал и длина изолятора в центре;
• высота над землёй;
• крыша, мачта, водостоки, деревья и другие близкие проводящие либо диэлектрические объекты;
• изоляция провода и способ прокладки.

Поэтому разумная практическая стратегия такова: рассчитать начальную длину, оставить небольшой запас материала, а затем укорачивать элементы небольшими шагами по результатам измерения резонанса или КСВ. Удлинить уже отрезанный провод гораздо труднее, чем укоротить.

---

Четвертьволновой монополь: вторая половина находится в земле

Монополь — это один вертикальный проводящий элемент над проводящей поверхностью, называемой землёй или противовесом. Его типичная электрическая длина равна четверти волны:

$$L_{\text{monopole, ideal}}=\frac{\lambda }{4}$$

Следовательно:

$$L_{\text{monopole, ideal}}[\mathrm{m}]\approx \frac{75}{f[\mathrm{MHz}]}$$

На идеальной проводящей плоскости монополь можно понять через метод изображений: электромагнитные поля над плоскостью эквивалентны полям диполя, у которого нижняя половина является зеркальным изображением физического проводника. Поэтому четвертьволновой штырь над хорошей землёй электрически соответствует полуволновому диполю.

В этой модели PEC означает perfect electric conductor, идеальный проводник. Настоящая почва, корпус устройства или маленькая металлическая площадка не идеальны. Поэтому слово «земля» не следует понимать как магический нулевой потенциал: для монополя она является частью антенной системы и создаёт путь возвратного тока.

Пример: монополь на $145\mathrm{MHz}$

$$\lambda \approx \frac{300}{145}=2.07\mathrm{m}$$

Идеальная длина четвертьволнового штыря:

$$L_{\text{monopole, ideal}}\approx \frac{2.07}{4}=0.517\mathrm{m}$$

Итак, это примерно $51.7\mathrm{cm}$. Заметьте, что это ровно та же идеальная длина, что у одного плеча полуволнового диполя на той же частоте. Но эти антенны не взаимозаменяемы без условий: диполь состоит из двух реальных плеч, тогда как монополю необходим адекватный противовес или проводящая плоскость.

Для реального монополя также нужна настройка. Не стоит автоматически переносить коэффициент укорочения конкретного диполя на штырь над конкретным корпусом или землёй: условия возвратного тока могут существенно изменить резонанс.

---

Универсальный алгоритм расчёта

Для первого эскиза антенны действуйте в таком порядке:

1. Выберите расчётную частоту. Для узкополосной системы это обычно центральная частота канала или диапазона.
2. Приведите единицы к мегагерцам, если используете приближение $300/f$.
3. Найдите длину волны по формуле $\lambda \approx 300/f$.
4. Для диполя возьмите половину длины волны как общую идеальную длину и разделите её на два плеча.
5. Для монополя возьмите четверть длины волны и отдельно проверьте, что предполагается хороший противовес или ground plane.
6. Для реальной конструкции предусмотрите запас на подстройку и определите резонанс измерением либо электромагнитным моделированием.

В таблице собраны ориентиры для двух характерных частот.

Рабочая частота	Длина волны	Полный идеальный диполь	Одно плечо диполя	Идеальный монополь
$14.2\mathrm{MHz}$	$21.13\mathrm{m}$	$10.56\mathrm{m}$	$5.28\mathrm{m}$	$5.28\mathrm{m}$
$433.92\mathrm{MHz}$	$0.691\mathrm{m}$	$0.346\mathrm{m}$	$0.173\mathrm{m}$	$0.173\mathrm{m}$

Второй пример особенно полезен для современных ISM-устройств. На $433.92\mathrm{MHz}$ четвертьволновой штырь имеет длину примерно $17.3\mathrm{cm}$, а не $43.4\mathrm{cm}$: число 433 в названии диапазона — это частота в мегагерцах, а не длина волны в сантиметрах.

---

Главное

Ориентировочные формулы в метрической системе таковы:

$$\lambda [\mathrm{m}]\approx \frac{300}{f[\mathrm{MHz}]}$$ $$L_{\text{dipole, ideal}}[\mathrm{m}]\approx \frac{150}{f[\mathrm{MHz}]}$$ $$L_{\text{arm, ideal}}\approx L_{\text{monopole, ideal}}\approx \frac{75}{f[\mathrm{MHz}]}$$

Полуволновой диполь имеет два плеча и питается в центре; четвертьволновой монополь использует проводящую землю или противовес как вторую, зеркальную половину системы. Формулы дают геометрический старт, но не заменяют настройку: реальная окружающая среда и конструкция меняют электрическую длину.

В следующем занятии мы перейдём от размеров к пространственному поведению антенны: научимся читать диаграмму направленности, находить главный и боковые лепестки, ширину луча и отношение излучения вперёд-назад.