Операции с комплексными числами: алгебраическая и полярная формы

Здравствуйте! В предыдущем уроке интеграл помогал описывать накопление: например, заряд как интеграл тока по времени. Теперь мы переходим к другому базовому языку радиотехники — комплексным числам. Они позволяют записывать величину и фазовый сдвиг синусоидального сигнала как один объект, а позднее существенно упростят расчёты цепей переменного тока, фильтров, модуляции и I/Q-обработки.

Сегодня цель более фундаментальна: уверенно выполнять арифметические действия с комплексными числами и переводить число между алгебраической (прямоугольной) и полярной формами. Формулу Эйлера и собственно комплексные амплитуды синусоид оставим следующему уроку.

---

Комплексное число как точка и как вектор

Комплексное число в алгебраической форме записывают так:

$$z=a+jb$$

где $a$ и $b$ — обычные вещественные числа, а $j$ — мнимая единица:

$$j^2=-1$$

В математике для мнимой единицы обычно используют $i$, но в электротехнике принято $j$, поскольку буква $i$ почти всегда означает ток.

Составляющие числа называются:

$$\mathrm{Re}(z)=a$$ $$\mathrm{Im}(z)=b$$

Важно: мнимая часть числа $a+jb$ — это именно $b$, а не $jb$.

Число $z=a+jb$ удобно изображать на комплексной плоскости:

• по горизонтальной оси откладывают действительную часть $a$;
• по вертикальной — мнимую часть $b$;
• самому числу соответствует точка $(a,b)$ и радиус-вектор из начала координат в эту точку.

На рисунке использована буква $i$; в расчётах электрических цепей ту же величину запишем как:

$$z=3-4j$$

Комплексное число не является «суммой двух чисел» в обычном смысле. Запись $3-4j$ задаёт одну точку на плоскости. Поэтому нельзя складывать $3$ и $-4j$ как однотипные слагаемые.

Для быстрого визуального обзора посмотрите начало видео «Комплексные числа | Теория комплексных чисел. Переход из одной формы в другую» канала «Электротехник Равилов». Оно сразу использует электротехническое обозначение $j$ и связывает комплексные величины с векторными диаграммами.

---

Операции в алгебраической форме

Алгебраическая форма особенно удобна, когда нужно складывать или вычитать комплексные величины. Складывают действительные части отдельно от мнимых:

$$(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)$$

Например, для двух комплексных токов:

$$I_1=2+4j\mathrm{A}$$ $$I_2=5-3j\mathrm{A}$$

получаем:

$$I_1+I_2=(2+4j)+(5-3j)$$ $$I_1+I_2=7+j\mathrm{A}$$

Геометрически это обычное сложение векторов: по действительной оси суммарное смещение равно $2+5=7$, по мнимой оси — $4+(-3)=1$.

Вычитание устроено так же:

$$(a+jb)-(c+jd)=(a-c)+j(b-d)$$

Например:

$$(6-2j)-(1+5j)=5-7j$$

Знак перед вторым числом относится к обеим его частям. Это место, где часто появляется ошибка:

$$(6-2j)-(1+5j)=6-2j-1-5j$$

а не $6-2j-1+5j$.

Умножение

Комплексные числа можно умножать раскрытием скобок, как обычные алгебраические выражения, после чего используется правило $j^2=-1$:

$$(a+jb)(c+jd)$$ $$=ac+jad+jbc+j^{2}bd$$ $$=(ac-bd)+j(ad+bc)$$

Рассмотрим пример:

$$(3+4j)(1-j)$$ $$=3-3j+4j-4j^2$$

Так как $j^2=-1$, последний член равен $+4$:

$$=3+4+j$$ $$=7+j$$

Умножение на $j$ имеет полезный геометрический смысл:

$$j(a+jb)=ja+j^{2}b=-b+ja$$

То есть координаты $(a,b)$ превращаются в $(-b,a)$. Это поворот вектора на $90^{\circ }$ против часовой стрелки. В дальнейшем этот факт будет лежать за квадратурным сдвигом фазы.

Комплексное сопряжение и деление

Для числа

$$z=a+jb$$

комплексно-сопряжённым называется число:

$$z^{\ast }=a-jb$$

Оно является отражением исходной точки относительно действительной оси. Например:

$$(3-4j{)}^{\ast }=3+4j$$

Произведение числа на сопряжённое всегда вещественно:

$$z{z}^{\ast }=(a+jb)(a-jb)$$ $$=a^2+b^2$$

Это свойство позволяет выполнить деление. Чтобы разделить на число $c+jd$, домножают числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя $c-jd$:

$$\frac{a+jb}{c+jd}=\frac{(a+jb)(c-jd)}{(c+jd)(c-jd)}$$

В знаменателе получится:

$$(c+jd)(c-jd)=c^2+d^2$$

Например:

$$\frac{1+j}{2-j}=\frac{(1+j)(2+j)}{(2-j)(2+j)}$$ $$=\frac{2+j+2j+j^2}{4-j^2}$$ $$=\frac{1+3j}{5}$$ $$=0.2+0.6j$$

Этот способ универсален, но вскоре появится более быстрый способ деления — через полярную форму.

---

Модуль и аргумент: полярное описание

Алгебраическая форма $a+jb$ отвечает на вопрос: «каковы координаты точки?» Полярная форма отвечает на другой вопрос: «какова длина вектора и под каким углом он расположен?»

Модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до точки:

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Часто модуль обозначают буквой $r$:

$$r=|z|$$

Аргумент $\phi$ — угол между положительным направлением действительной оси и вектором числа:

$$\phi =\arg (z)$$

Для числа с ненулевым модулем полярная форма выглядит так:

$$z=r(\cos \phi +j\sin \phi )$$

В инженерной практике её обычно сокращают:

$$z=r\angle \phi$$

Например, найдём полярную форму числа с рисунка:

$$z=3-4j$$

Модуль:

$$r=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}$$ $$r=5$$

Угол находится по отношению мнимой и действительной частей. В данном случае:

$$\tan \phi =\frac{-4}{3}$$

Так как действительная часть положительна, а мнимая отрицательна, число лежит в четвёртой четверти. Поэтому нужен отрицательный угол:

$$\phi \approx -53.13^{\circ }$$

или в радианах:

$$\phi \approx -0.9273\mathrm{rad}$$

Итак:

$$3-4j=5\angle (-53.13^{\circ })$$

Почему нельзя бездумно применять арктангенс

Формула

$$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$

сама по себе не определяет четверть. Значения тангенса повторяются через $180^{\circ }$, а значит, по одному отношению $b/a$ нельзя отличить первую четверть от третьей или вторую от четвёртой.

Надёжный порядок действий:

1. Вычислить модуль $r$.
2. Посмотреть на знаки $a$ и $b$, то есть определить четверть.
3. Найти опорный угол по модулю отношения $|b/a|$.
4. Выбрать угол, соответствующий фактической четверти.

В коде для этого применяется функция atan2, которая принимает обе координаты и учитывает четверть:

import cmath

z = 3 - 4j

magnitude = abs(z)          # 5.0
phase_rad = cmath.phase(z)  # примерно -0.9273

В NumPy аналогичная функция для массива комплексных отсчётов называется np.angle. Она станет привычным инструментом, когда начнётся анализ I/Q-сигналов и спектров.

Полезный краткий материал для сверки формул даёт раздел “1.4: Complex Numbers” из учебника по анализу цепей переменного тока. В нём хорошо сформулировано, какая форма удобна для какой операции.

---

Переход из полярной формы в алгебраическую

Если известны модуль $r$ и аргумент $\phi$, компоненты находятся непосредственно через тригонометрию:

$$a=r\cos \phi$$ $$b=r\sin \phi$$

Поэтому:

$$r\angle \phi =r\cos \phi +jr\sin \phi$$

Например, переведём в алгебраическую форму число:

$$z=10\angle 120^{\circ }$$

Действительная часть:

$$a=10\cos 120^{\circ }=-5$$

Мнимая часть:

$$b=10\sin 120^{\circ }\approx 8.660$$

Следовательно:

$$10\angle 120^{\circ }\approx -5+8.660j$$

Проверка по знакам особенно полезна: угол $120^{\circ }$ находится во второй четверти, поэтому действительная часть должна быть отрицательной, а мнимая — положительной. Результат этому соответствует.

Следует различать:

• модуль всегда неотрицателен;
• один и тот же угол можно записать с добавлением целого числа оборотов:

$$\phi ,\phi +2\pi ,\phi -2\pi$$

Все эти аргументы задают одну точку. В расчётах чаще выбирают аргумент в диапазоне от $-180^{\circ }$ до $180^{\circ }$, либо от $-\pi$ до $\pi$.

У нулевого числа есть особый случай:

$$z=0$$ $$|z|=0$$

Но аргумент определить нельзя: нулевой вектор не имеет направления. Поэтому запись $0\angle \phi$ не несёт информации об угле.

---

Какую форму выбирать для операции

Разные формы не конкурируют: каждая делает свою группу операций прозрачной.

Задача	Предпочтительная форма	Причина
Сложение и вычитание	Алгебраическая: $a+jb$	Складываются отдельные координаты
Умножение и деление	Полярная: $r\angle \phi$	Модули перемножаются или делятся, углы складываются или вычитаются
Интерпретация амплитуды и фазы	Полярная	$r$ и $\phi$ видны сразу
Контроль составляющих I/Q	Алгебраическая	Явно видны действительный и мнимый каналы

Пусть имеются два комплексных коэффициента:

$$z_1=5\angle 30^{\circ }$$ $$z_2=2\angle (-45^{\circ })$$

Тогда их произведение:

$$z_1{z}_2=(5\cdot 2)\angle (30^{\circ }+(-45^{\circ }))$$ $$z_1{z}_2=10\angle (-15^{\circ })$$

А частное:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{5}{2}\angle (30^{\circ }-(-45^{\circ }))$$ $$\frac{z_1}{z_2}=2.5\angle 75^{\circ }$$

Именно поэтому полярная форма настолько практична для частотных характеристик, каскадов и комплексных сопротивлений: усиления в модуле перемножаются, а фазовые сдвиги складываются.

Но складывать полярные числа «по отдельности» нельзя. В общем случае неверно:

$$r_1\angle {\phi }_1+r_2\angle {\phi }_2\ne (r_1+r_2)\angle ({\phi }_1+{\phi }_2)$$

Перед сложением нужно перейти к алгебраической форме.

Например:

$$5\angle 0^{\circ }+5\angle 90^{\circ }$$

превращается в:

$$5+0j+0+5j$$ $$=5+5j$$

Его полярная форма:

$$5+5j=5\sqrt{2}\angle 45^{\circ }$$

Это наглядно показывает, почему векторная сумма зависит не только от модулей, но и от взаимного угла.

---

Инженерские проверки результата

Комплексная арифметика становится надёжной, если проверять ответ сразу несколькими способами.

1. Проверьте четверть.
   Угол и знаки $a$, $b$ должны согласовываться. Например, число с отрицательной действительной и положительной мнимой частями обязано иметь аргумент во второй четверти.

2. Помните, что модуль неотрицателен.
   Запись с отрицательным модулем обычно следует преобразовать, прибавив к углу $180^{\circ }$.

3. Контролируйте размерности.
   Складывать можно только величины одной размерности: напряжение с напряжением, ток с током. Комплексность не отменяет физический смысл единиц.

4. После деления в алгебраической форме проверяйте знаменатель.
   При домножении на сопряжённое он должен стать вещественным:

$$c^2+d^2$$

5. Для численных ответов сохраняйте смысловую точность.
   Например, $5\angle (-53.13^{\circ })$ обычно достаточно; нет причины записывать десятки десятичных знаков.

---

Итоги

Комплексное число в алгебраической форме записывается как:

$$z=a+jb$$

Оно соответствует точке $(a,b)$ на комплексной плоскости. В этой форме удобно складывать и вычитать комплексные величины:

$$(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)$$

Модуль и аргумент задают полярную форму:

$$z=r\angle \phi$$

где:

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$a=r\cos \phi$$ $$b=r\sin \phi$$

Для умножения и деления полярная форма особенно удобна:

$$(r_1\angle {\phi }_1)(r_2\angle {\phi }_2)=r_1{r}_2\angle ({\phi }_1+{\phi }_2)$$ $$\frac{r_1\angle {\phi }_1}{r_2\angle {\phi }_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle ({\phi }_1-{\phi }_2)$$

В следующем уроке эти навыки получат физический смысл: формула Эйлера свяжет комплексное число с синусоидой, а комплексные амплитуды позволят складывать гармонические колебания без громоздкой тригонометрии.