Комплексные сопротивления резистора, конденсатора и катушки на заданной частоте

Здравствуйте. Мы начинаем модуль об электрических цепях и реактивных элементах. В нём знакомые законы цепей постоянного тока постепенно расширяются до синусоидального режима, где величины имеют не только модуль, но и фазу.

В этой части курса комплексные числа становятся рабочим инструментом: они позволяют заменить дифференцирование и интегрирование синусоид на обычные алгебраические операции. Цель урока — уверенно вычислять комплексное сопротивление, или импеданс, резистора, катушки и конденсатора на заданной частоте, записывая результат в прямоугольной и полярной формах.

---

Почему в цепи переменного тока недостаточно $R$

Для постоянного тока закон Ома имеет вид

$$U=IR.$$

У резистора напряжение и ток меняются пропорционально и одновременно: если ток удвоился, напряжение удвоилось в тот же момент. Поэтому одного вещественного параметра $R$, измеряемого в омах, достаточно.

Катушка и конденсатор ведут себя иначе:

$$u_L(t)=L\frac{di(t)}{dt},$$ $$i_C(t)=C\frac{du(t)}{dt}.$$

Их напряжение или ток связаны не только с текущим значением второй величины, но и со скоростью её изменения. В синусоидальном установившемся режиме это проявляется как фазовый сдвиг. Поэтому отношение комплексных амплитуд напряжения и тока оказывается комплексным числом:

$$Z=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.$$

Здесь $Z$ — импеданс, $\tilde{V}$ и $\tilde{I}$ — комплексные амплитуды напряжения и тока. Это не отношение мгновенных значений $u(t)/i(t)$, а отношение их фазоров на одной частоте.

Посмотрите краткое, но содержательное объяснение вывода этих соотношений через комплексную экспоненту.

Для синусоидальной частоты $f$, измеряемой в герцах, вводят круговую частоту:

$$\omega =2\pi f.$$

Единица $\omega$ обычно записывается как $rad/s$. В инженерных расчётах важно не перепутать $f$ и $\omega$: в формулах импеданса используются именно $\omega$, а не $f$.

---

Три элементарных импеданса

В электротехнике для мнимой единицы принято обозначение $j$, чтобы не смешивать её с током $i$:

$$j^2=-1.$$

Для трёх идеальных пассивных элементов получаются следующие импедансы.

Элемент	Импеданс в прямоугольной форме	Модуль и фаза
Резистор $R$	$Z_R=R+j0$	$Z_R=R\angle 0^{\circ }$
Катушка $L$	$Z_L=j\omega L$	$Z_L=X_L\angle 90^{\circ }$
Конденсатор $C$	$Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$	$Z_C=X_C\angle -90^{\circ }$

Здесь положительные величины реактивных сопротивлений по модулю равны

$$X_L=\omega L=2\pi fL,$$ $$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}.$$

Обратите внимание на соглашение:

• $X_L$ обычно называют индуктивным реактивным сопротивлением и считают положительным числом;
• $X_C$ часто тоже записывают положительным как модуль ёмкостного реактивного сопротивления;
• однако сам импеданс конденсатора содержит отрицательную мнимую часть:

$$Z_C=-j{X}_C.$$

Если используется общая запись

$$Z=R+jX,$$

то реактивность $X$ имеет знак: для индуктора $X>0$, для конденсатора $X<0$.

Откуда берутся знаки фаз

У резистора ток и напряжение синфазны. Его импеданс лежит на вещественной оси и имеет фазу $0^{\circ }$.

Для катушки дифференцирование комплексной экспоненты даёт множитель $j\omega$:

$$\frac{d}{dt}{e}^{j\omega t}=j\omega e^{j\omega t}.$$

Множитель $j$ означает поворот комплексного числа на $90^{\circ }$. Поэтому напряжение на идеальной катушке опережает ток на $90^{\circ }$, а её импеданс имеет положительную мнимую часть.

У конденсатора возникает обратный множитель:

$$\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}.$$

Следовательно, напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на $90^{\circ }$, а его импеданс направлен вдоль отрицательной мнимой оси.

---

Алгоритм расчёта на заданной частоте

Практический расчёт удобно выполнять всегда в одном и том же порядке.

1. Переведите номиналы в СИ.
   Миллигенри следует перевести в генри, микрофарады — в фарады.

2. Вычислите круговую частоту.

   $$\omega =2\pi f.$$

3. Найдите модуль реактивного сопротивления.

   $$X_L=\omega L,$$ $$X_C=\frac{1}{\omega C}.$$

4. Добавьте комплексную форму и фазу.

   $$Z_R=R+j0,$$ $$Z_L=j{X}_L=X_L\angle 90^{\circ },$$ $$Z_C=-j{X}_C=X_C\angle -90^{\circ }.$$

5. Проверьте размерность и физический смысл.
   Импеданс всегда измеряется в омах. При увеличении частоты модуль импеданса катушки должен расти, а конденсатора — уменьшаться.

Размерности действительно согласуются:

$$[\omega L]=\frac{1}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{\Omega s}=\mathrm{\Omega },$$ $$\left[\frac{1}{\omega C}\right]=\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{s}}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{\Omega }}}=\mathrm{\Omega }.$$

---

Развёрнутый пример: одинаковый модуль, разная физика

Рассмотрим частоту

$$f=159.15\mathrm{Hz}.$$

Тогда круговая частота почти точно равна

$$\omega =2\pi \cdot 159.15\approx 1000rad/s.$$

Возьмём три элемента:

$$R=100\Omega ,$$ $$L=100\mathrm{mH}=0.1\mathrm{H},$$ $$C=10\mu \mathrm{F}=10\cdot 10^{-6}\mathrm{F}.$$

Для резистора частота не влияет на импеданс:

$$Z_R=100+j0\Omega =100\angle 0^{\circ }\Omega .$$

Для катушки:

$$X_L=\omega L=1000\cdot 0.1=100\Omega ,$$ $$Z_L=j100\Omega =100\angle 90^{\circ }\Omega .$$

Для конденсатора:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1000\cdot 10\cdot 10^{-6}}=100\Omega ,$$ $$Z_C=-j100\Omega =100\angle -90^{\circ }\Omega .$$

Это важный результат: одинаковый модуль импеданса ещё не означает одинаковое поведение в цепи. Например, если все три элемента пропускают ток с одинаковой амплитудой, напряжения на них будут иметь разные фазы относительно тока.

Прямоугольная форма особенно удобна, когда в дальнейшем нужно складывать импедансы в последовательной цепи. Полярная форма нагляднее показывает фазу и удобна для умножения и деления. На этом уроке достаточно уметь получать обе записи для каждого элемента.

---

Как частота меняет катушку и конденсатор

Пусть

$$L=10\mathrm{mH},$$ $$C=1\mu \mathrm{F}.$$

Тогда частотная зависимость выглядит так:

Частота	$|Z_L|=X_L$	$|Z_C|=X_C$
$100\mathrm{Hz}$	$6.28\Omega$	$1591.5\Omega$
$1\mathrm{kHz}$	$62.8\Omega$	$159.2\Omega$
$10\mathrm{kHz}$	$628\Omega$	$15.9\Omega$

Эта таблица даёт две устойчивые инженерные интуиции:

• на низких частотах идеальная катушка близка к короткому замыканию, а идеальный конденсатор — к разрыву цепи;
• на высоких частотах ситуация меняется: катушка сильнее препятствует току, а конденсатор — слабее.

Формально при нулевой частоте фазирное представление не используется, поскольку речь уже не о синусоидальном установившемся режиме. Но пределы формул согласуются с анализом постоянного тока:

$$\underset{f\to 0}{\lim }{Z}_L=0,$$ $$\underset{f\to 0}{\lim }|Z_C|=\infty .$$

У реальных компонентов эта картина не бесконечно точна: катушка имеет активное сопротивление провода, конденсатор — потери и паразитную индуктивность. Пока будем использовать идеальные модели; именно они составляют основу расчёта и позволяют понять, какие паразитные эффекты позже становятся существенными.

---

Быстрая проверка формул в Python

Для моделирования цепей удобно представлять импедансы как комплексные числа Python. В записи Python мнимая единица имеет вид 1j.

import numpy as np

f = 159.15          # Hz
R = 100.0           # Ohm
L = 100e-3          # H
C = 10e-6           # F

omega = 2 * np.pi * f

Z_R = R + 0j
Z_L = 1j * omega * L
Z_C = 1 / (1j * omega * C)

for name, Z in [("R", Z_R), ("L", Z_L), ("C", Z_C)]:
    magnitude = np.abs(Z)
    phase_deg = np.degrees(np.angle(Z))
    print(f"{name}: Z = {Z:.2f} Ohm")
    print(f"   |Z| = {magnitude:.2f} Ohm, phase = {phase_deg:.1f} deg")

С небольшими погрешностями округления программа должна выдать:

• для резистора комплексное число около $100+j0\Omega$;
• для катушки число около $j100\Omega$;
• для конденсатора число около $-j100\Omega$.

Такой короткий расчёт полезно использовать как контроль ручных вычислений. При этом сначала стоит прикинуть ожидаемый знак мнимой части: положительный для катушки, отрицательный для конденсатора. Если программа выдала обратный знак, почти наверняка перепутана формула или порядок деления.

---

Типичные ошибки

Подставить $f$ вместо $\omega$.
Неверно:

$$X_L=fL.$$

Верно:

$$X_L=2\pi fL.$$

То же относится к конденсатору.

Забыть перевод приставок.
Например,

$$100\mathrm{mH}=0.1\mathrm{H},$$

а не $100\mathrm{H}$. Аналогично,

$$10\mu \mathrm{F}=10\cdot 10^{-6}\mathrm{F}.$$

Ошибка в приставке может изменить результат в тысячу или миллион раз.

Потерять знак конденсатора.
Величина $X_C$ положительна как модуль, но комплексный импеданс имеет вид

$$Z_C=-j{X}_C.$$

Считать, что фазовый угол зависит от номинала идеального одиночного элемента.
У отдельного идеального резистора фаза всегда $0^{\circ }$, у катушки $90^{\circ }$, у конденсатора $-90^{\circ }$. Частота меняет модуль импеданса катушки и конденсатора, но не эти углы.

---

Итак, импеданс — это комплексное отношение фазоров напряжения и тока:

$$Z=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.$$

Для резистора он равен $R$, для катушки равен $j\omega L$, а для конденсатора равен $1/(j\omega C)$. Катушка даёт положительную мнимую часть и её реактивное сопротивление растёт с частотой; конденсатор даёт отрицательную мнимую часть и его реактивное сопротивление с частотой уменьшается.

Далее эти три элементарных импеданса будут объединяться в последовательной RLC-цепи: там можно будет вычислить ток как функцию частоты и увидеть, почему индуктивная и ёмкостная реактивности способны взаимно компенсироваться в резонансе.